[정시 용어의 이해 (심화)] 6편 : 표준점수 함수의 형성 원리 (국어/수학)

안녕하세요 크럭스(Crux)팀의 환상동화입니다. 

드디어 정시 용어의 이해 마지막 편입니다.

사실 이번 내용이 얼마나 어려울까, 수학 논문 급의 비주얼이 나오지 않을까 고민이 많았습니다. 그런데 막상 쓰고 보니까 생각보다 난이도가 어렵지 않고 글 분량도 짧게 나왔습니다. 

그래서 아마 꼼꼼히 읽으신다면 웬만하면 이해가 되지 않을까라는 희망을 가져봅니다.

지난 편 링크입니다.

[1편] 표준점수 기본 : https://orbi.kr/00059924973

[2편] 표준점수와 등급컷 : https://orbi.kr/00059952153

[3편] 표준점수 증발/점프 현상 : https://orbi.kr/00059992389

[4편] 백분위 계산법 : https://orbi.kr/00060019522

[5편] (심화) 표준점수 함수의 형성 원리 (탐구) : https://orbi.kr/00060046806

1편은 꼭 읽고 오시고

5편은 파트 Ⅰ~Ⅱ 정도만 읽고 와주시기 바랍니다.

Ⅰ. 선택과목이 없었을 때 국어/수학의 표준점수 함수

선택과목이 없었던 시절의 표준점수 함수는 다음과 같았습니다.

정말 이때가 그립네요.

탐구 표준점수 함수와 아주 유사하지 않나요?

바뀐 것이라고는 10이 20으로 바뀐 것과 50이 100으로 바뀐 것밖에 없습니다.

그런데 이걸 갑자기 왜 보여주는 것이냐? 뜬금없이 추억 회상하자고 가져온건 당연히 아닙니다.

이 함수가 뒷 내용을 설명하는데 기본이 되는 함수이기 때문에 보여드린 것입니다.

따라서 여러분은 이 함수를 뚫어지게 쳐다보시고 다음 파트로 넘어가주시기 바랍니다.

그러면 이제 본격적으로 현재의 국어/수학 표준점수 함수에 대한 설명을 시작하겠습니다.

Ⅱ. 공통문항 원점수를 표준점수로 변환하는 방법

공통문항 원점수를 표준점수로 변환하는 방법은 다음과 같습니다.

아까 제가 뚫어지게 보라고 했던 함수와 거의 비슷하지 않나요?

'전체공통'이라는 말이 특별히 붙은 것 빼고는 다른 게 없습니다.

여기서 '전체공통'이 의미하는 것은 다음과 같습니다.

"전체 응시자를 대상으로 산출된 공통문항 평균(m) 또는 표준편차(σ)"

굳이 '전체'라는 말을 붙인 이유는, 뒷 내용에 특정 과목 선택자만을 대상으로 산출하는 평균과 표준편차도 있기 때문입니다.

아 어쨌든 이거는 전체 응시자를 대상으로 낸 평균(m)과 표준편차(σ)니까, 선택과목에 관계없이 값이 똑같겠구나.

결론적으로, 선택과목에 관계없이 공통문항 원점수가 같으면 동일한 표준점수로 변환됩니다.

화법과 작문 선택자가 공통에서 70점을 받든, 언어와 매체 선택자가 공통에서 70점을 받든 똑같이 70점을 받았기 때문에 표준점수에는 똑같이 반영된다는 의미가 됩니다.

그렇다면 이 부분에서는 선택과목별 유불리가 갈리지 않는다는 말이 되겠죠. 그러면 유불리는 어디서 갈릴까요? 바로 다음에서 갈립니다. 다음 파트로 넘어가보도록 하겠습니다.

Ⅲ. 선택문항 원점수를 표준점수로 변환하는 방법

선택문항 원점수를 표준점수로 변환하는 방법은 다음과 같습니다.

선택문항 원점수도 아까랑 완전 똑같은데요? 그러면 국어/수학 표준점수 함수 완전 쉬운거 아닌가요??

아닙니다. 잘 보시면 제가 선택과목 원점수를 그냥 'y'가 아니라 'y조정'이라고 써놓지 않았습니까?

이 '조정'이 어쩌면 국어/수학 표준점수 함수가 복잡해진 원흉(?)입니다.

그렇다면 조정이 의미하는게 도대체 무엇일까요? 지금부터 살펴보도록 합시다.

선택문항 원점수의 조정

선택과목 간 유불리의 원인은 100% 여기에 있습니다.

과장이 아니라 정말 이것 말고는 다른 이유가 없습니다. 이게 도대체 어떻게 유불리를 가르는지 살펴볼까요?

선택문항 원점수의 조정식(영어 강사 아니고)은 다음과 같습니다.

어이쿠... 뭔가 복잡해 보입니다.

j선택, j공통이 뭔지만 알면 얼추 이해는 될 것 같은데, 이것들이 도대체 뭘까요?

j선택 : j과목 선택자 집단을 대상으로 산출된 선택문항 평균(m) 또는 표준편차(σ)

j공통 : j과목 선택자 집단을 대상으로 산출된 공통문항 평균(m) 또는 표준편차(σ)

(단, 'j과목'은 화작, 언매, 확통, 미적, 기하 중에 하나임.)

즉, 이번에 나오는 평균(m)과 표준편차(σ)는 '나와 같은 선택과목을 선택한 사람들'만을 대상으로 산출하는 것입니다.

아, 이제 j선택과 j공통이 뭔지 알았습니다.

그러고 나서 선택문항 원점수 조정식을 다시 살펴봤더니 다음과 같은 특징이 있습니다.

① (y-mj선택을) 선택문항 표준편차(σ)로 나누고, 다시 공통문항 표준편차(σ)를 곱했습니다.

② 선택문항 평균(m)을 빼고, 다시 공통문항 평균(m)을 더했습니다.

나누거나 빼는건 작을수록, 곱하거나 더하는건 클수록 점수가 더 유리하게 조정되지 않겠습니까?

결국 선택문항 원점수가 유리하게 조정되기 위한 조건은 다음과 같습니다.

'나와 같은 선택과목을 선택한 사람들'을 대상으로 산출한

① 선택문항 표준편차(σ)는 작아야 하고, 공통문항 표준편차(σ)는 커야한다.

② 선택문항 평균(m)은 작아야 하고, 공통문항 평균(m)은 커야한다.

②를 보니까 느낌이 확 오지 않습니까? 

선택과목 체제에서는 '자신과 같은 과목을 선택한 사람이 공통을 잘 볼수록, 선택을 못 볼수록 표준점수가 유리하다.'라는 말을 들어본 적이 있으실겁니다. ②가 그것을 정확하게 증명해주고 있습니다.

국어에서는 언어와 매체가, 수학에서는 미적분이 대부분 표준점수가 높게 나오는 이유가 이것 때문입니다. 

그렇다면 ①은 도대체 유불리에 무슨 관련이 있느냐?

사실 저도 지식이 부족해서 잘 모르겠습니다...ㅎㅎ 혹시 잘 알고 계시거나 그럴 듯한 의견 있으신 분 계시면 댓글 남겨주시기 바랍니다.

그런데 왜 이렇게 조정할까요?

왜 그럴까 생각해보면, 사실 선택과목 사이에는 선택자 집단의 수준 차이가 분명히 존재합니다.

따라서 선택문항 성적이 낮게 나왔다면 정말 문제가 어렵게 나와서 낮게 나온건지, 아니면 그 과목 선택자들이 원래 전반적으로 못해서 낮게 나온건지 알 수가 없습니다. 

만약에 후자라면, 문제가 어렵게 나온 것도 아닌데 실력이 안 좋다는 이유로 더 높은 표준점수를 가져가게 되는 것이기 때문에 형평성 문제가 생기게 됩니다.

'공통문항 성적'을 반영하면 이 문제가 명쾌하게 해결됩니다.

공통문항은 선택과목 관계없이 모두가 공통적으로 푼 문항이기 때문에 실력을 비교하기에 안성맞춤입니다.

만약에 공통문항 성적도 다른 집단에 비해 낮게 나왔다면, 그 과목 선택자들이 원래 못해서 그런 것임을 알 수 있습니다. 따라서 표준점수를 낮게 부여합니다.

하지만 공통문항 성적이 높은 편이라면 선택문항이 어렵게 출제되었다는 의미가 되겠죠. 이 때는 표준점수를 높게 부여합니다.

따라서 선택문항 원점수의 조정은 '집단 수준 차이에 의한 불공평성을 해소하기 위해 공통문항 성적을 반영하는 것'이라고 볼 수 있습니다.

그렇다면 조정이 끝났으니까 마지막으로 표준점수로 변환만 해주면 됩니다.

이 파트 처음에서 소개했던 식이었죠?

이 식을 통해 선택문항 원점수가 표준점수로 최종 변환됩니다.

Ⅳ. 국어/수학 표준점수의 결론

국어/수학의 최종 표준점수는 다음과 같습니다.

국어에서는 공통문항 만점이 76점, 선택문항 만점이 24점이므로 각각 76%, 24%만 반영하는 것입니다.

수학에서는 공통문항 만점이 74점, 선택문항 만점이 26점이라 숫자가 조금 달라져 있습니다.

'S공통'의 경우, 공통문항 원점수가 똑같으면 'S공통'의 값도 똑같기 때문에 이 부분에서는 선택과목별 유불리가 갈리지 않는다고 했습니다.

다만 'S선택'은, 선택문항 원점수가 똑같아도 '선택문항 원점수 조정' 과정에 의해 타과목에 비해 불리하게 조정될 수도 있고, 유리하게 조정될 수도 있다고 하였습니다. 결국 선택과목별 유불리를 가르는 부분은 'S선택'임을 다시 한 번 강조하겠습니다.

Ⅴ. 공통 틀린거 vs 선택 틀린거, 어떤게 더 유리하죠?

글을 여기서 끝낼까 했는데 아직 해결되지 않은 의문이 있습니다.

제가 1편에서 국어/수학 표준점수 함수가 S = ax+by+c라고 하면서

a > b이면 공통문항의 중요도가 더 높고 (즉, 선택을 틀린게 유리하고)

a < b이면 선택문항의 중요도가 더 높다고 했습니다. (이 경우에는 공통을 틀린게 유리)

그런데 지금까지의 내용으로는 도대체 언제 a > b가 되고 언제 a < b가 되는지 파악하기 어렵습니다.

그래서 이 부분까지만 설명하고 글을 마치도록 하겠습니다.

내용이 어렵기 때문에 정말 궁금하신 분들만 보시기 바랍니다.

국어/수학 표준점수 함수를 과정을 나누지 않고 한꺼번에 몰아서 쓰면 다음과 같습니다.

p공통은 공통문항의 배점 비율을 의미합니다. 국어에서는 0.76, 수학에서는 0.74입니다.

p선택은 선택문항의 배점 비율을 의미합니다. 국어에서는 0.24, 수학에서는 0.26입니다.

여기에서 x의 계수(a)와 y의 계수(b)만 각각 추출해보겠습니다.

따라서 a와 b는 다음과 같은 관계가 있습니다.

따라서

파란색 네모친 부분이 1보다 크면 b > a가 되어 선택문항 중요도가 더 높게 되는 것이고,

파란색 네모친 부분이 1보다 작으면 a > b가 되어 공통문항 중요도가 더 높게 되는 것입니다.

따라서 다음과 같이 결론지을 수 있습니다.

공통, 선택의 중요도는 의외로 평균이 관여하지 않고 표준편차에 의해서만 결정된다는 사실을 확인해주시면 되겠습니다.

이로써 6편에 걸친 정시 용어의 이해를 모두 마치겠습니다.

이틀 뒤 오전 11시 경에 [2023수능 영한탐외 종합 통계]로 만나도록 하겠습니다.

감사합니다~