[ZeroFe] 재수및N수를 위한 개정수학 필독 (이과 Edition-#2)

07’개정수학 Bridge 09’개정수학

For 이과 예비 재수생 및 N수생-Vol.2

안녕하세요. 수학강사 최영철입니다.

문과편에 이어서 이과편 Vol.1도 많이 좋아해주셔서

이과편 Vol.2도 최대한 빠르게 준비했습니다.

혹시 이과편 Vol.1을 못 보신 분들을 위해

간단히 요약해 드리겠습니다.

이과편 Vol.1은 문과편에 비해서 과목수도

많고 중복되는 내용도 있어서 단원들을 크게 묶어서

비교적 가볍게 작성하였습니다.

Vol.1은 고등수학 (상)/(하)와 수Ⅰ에 대한 이야기였습니다.

중요한 포인트는 고등수학 (상)/(하)는 기존과 마찬가지로

대부분의 내용이 간접출제범위입니다.

하지만 고1때 배웠던 삼각함수 내용이 직접출제범위로

올라오고 사인법칙과 코사인법칙이 삭제된 것은

꼭 확인하고 가야하는 부분입니다.

수Ⅰ은 지수함수와 로그함수를 제외하면

행렬은 삭제되고 지수∙로그와 수열과 극한이

모두 간접출제범위가 된 것입니다.

Vol.1에 대한 내용이 더 궁금하신 분들께서는

아래 링크를 통해 확인해보시면 좋을 것 같습니다.

http://orbi.kr/0007104120

Vol.2.는 수Ⅱ와 적분과 통계 및 기하와 벡터에 대한 이야기입니다.

본문은 강의시간에 학생들에게 이야기하듯이

작성되었기에 존대가 생략되었습니다.

4. 수Ⅱ

① 방정식과 부등식 – 안녕. 나도 이만 갈게.

수 체계에 이어서 완전하게 사라졌다.

예전에 무리부등식이 사라질 때도 상당히 아쉬움이 있었는데

이제는 깨끗하게 단원이 통째로 날아갔다.

비교적 다른 부분에 비해

쉽게 4점을 얻을 수 있는 부분이었기에 야속한 마음이 든다.

의도는 역시 대수부분의 약화로 보인다.

② 삼각함수 – 내 모습 그대로도 중요해.

07’개정수학 수Ⅱ의 삼각함수는

09’개정수학에서는 미적분Ⅱ로 옮겨오면서

삼각함수의 미분이라는 이름으로 바뀌었다.

이것은 지수∙로그함수와 같이 엮어 볼 필요가 있다.

(지수∙로그∙삼각함수를 묶어서 초월함수라고 칭하겠다.)

예전에는 초월함수를 배운 뒤

한 번에 미분과 적분에 대한 내용을

바로 다항함수와 초월함수에 적용시키도록 하였다.

하지만 09’개정수학에서는 각각의 함수들을 배우고

바로 극한과 미분을 배우도록 연결시켜 놓았다.

또한 그에 대한 방정식과 부등식을 푸는 내용도

약화시켰다.

지금까지는 초월함수의 극한과 미적분에만 관심이 많았다면

이제는 함수 본연의 성질에 대한 부분도

출제 가능성이 상당히 높아졌다는 이야기이다.

지수∙로그함수의 증가와 감소 및 오목과 볼록

삼각함수의 주기성과 대칭성 등에 대한 부분이

크게 강화될 수 있다는 이야기이기도 하다.

실제로 작년 2016학년도 9월 평가원 모의고사 21번을 보면

접근은 정적분으로 정의된 함수이지만

핵심은 삼각함수 그래프와 주기성의 이해였다.

이미 평가원은 암묵적 예비시행을 한 것이다.

뒤따라서 시행된 10월 교육청 모의고사 21번도

역시 삼각함수의 그래프에 대한 성질을 이해하는 문제이다.

물론 평가원 문제를 보고 따라한 것으로 보이지만.

아. 삼각함수의 여러 가지 공식들이 삭제된 것은 맞다.

하지만 굳이 알고 있는 공식을 지울 필요는 없다고 생각된다.

추가로 공식들을 실어놓은 교과서도 있다.

③ 함수의 극한과 연속 – 오락가락하네요.

07’개정수학에서는 수Ⅱ에서

다항함수와 초월함수의 극한과 연속을 같이 배웠기 때문에

함수의 극한과 연속을 이해하고

바로 초월함수에 접목해야 했기에

처음 학습할 때 애를 먹었던 기억들이 있을 것이다.

하지만 09’개정교육과정에서는 미적분Ⅰ에서

다항함수의 극한과 미적분을 모두 학습하고

미적분Ⅱ에서는 초월함수의 극한과 미적분을 학습하게 된다.

단, 초월함수를 배우자마자 접목한다.

두 가지 방법 모두 장단점이 있는 것 같다.

극한을 배우자마자 초월함수에 접목하는 것도 어렵고

초월함수를 배우자마다 극한을 접목하는 것도 어렵다.

하지만 우리는 이미 한 번 다 본 내용이므로 크게 상관은 없다.

주목할 점은 이제 다항함수의 극한 미적분은 빠지고

초월함수의 극한 미적분만 직접 출제범위가 된 것이다.

이과생만 배우는 초월함수에만 집중하겠다는 의도이다.

그렇기에 이 부분에 대한 문제의 난이도는

오히려 높아질 것이라고 생각된다.

늘 중요했지만 꺼진 불도 다시 보고 가는 마음으로 학습하자.

아. 삼각함수의 극한 도형에서의 활용에서

사인법칙과 코사인법칙을 적용하는 문제는

이제 더 이상 풀지 않아도 된다.

④ 미분계수와 도함수 – 꺼진 불도 다시 보자.

미분법에 대한 부분은 위의 함수의 극한과 연속과 유사하다.

미분계수와 도함수의 정의와 다항함수의 미분법은

간접출제 범위로 미적분Ⅰ에서 미리 학습한다.

나머지 초월함수의 미분에 대한 내용과

여러 가지 미분법내용도 그대로

미적분Ⅱ에서 학습하며 직접출제범위이다.

단, 매개변수로 나타내어진 함수와

음함수의 미분법이 기하와 벡터로 옮겨갔다.

이 이유는 너무나도 중요하기에

기하와 벡터 이차곡선에서 이야기하겠다.

여기서 당부하고 싶은 것은

미적분Ⅱ만 직접출제 된다고 하여

미적분Ⅰ 학습을 등한시 하지는 않았으면 하는 것이다.

귀찮다는 거 안다. 충분히 이해도 한다.

하지만 미적분Ⅰ에서

미적분II의 골격이 되는 내용들을 너무 많이 배운다.

심지어 평균값정리도 미적분Ⅰ에 있다.

뿐만 아니라 사소하게

용어와 기호 및 정의가 수정된 것들이 있다.

예를 들면 극대∙극소의 정의가 아주 바람직하게 바뀌었다는 것도

반드시 확인하고 가야하는 부분 중 하나이다.

처음부터 끝까지 다 공부하라는 것이 아니니까

취약하다고 생각하는 부분만 선택적으로 학습하거나

요약 강좌를 통해서 꼭 정리하기를 바란다.

⑤ 도함수의 활용 – 궁금할 거야. 그치?

접선의 방정식부터 증가∙감소와 극대∙극소 및

방정식 부등식과 수직선에서의 운동에 대한 이야기는

미적분Ⅰ에서 이미 끝내고 온다.

이와 같은 상황이니

위에서 언급한 미적분Ⅰ에 대한 복습을 강조한

내 마음을 조금은 이해해주리라 믿는다.

꺼진 불도 다시 보자.

오목∙볼록과 변곡점 및 초월함수의 그래프에 대한 내용은

미적분Ⅱ으로 편성되었으며 직접출제범위이다.

이는 역시 초월함수에 집중하겠다는 의도이다.

사실 여기까지는 편성만 달라졌기에

미분법이라는 타이틀로 미분계수와 도함수랑

묶어버리고 싶은 마음이 굴뚝같았지만 그러지 못했다.

왜냐고? 이유는 단 한가지다.

평면에서의 운동이 기하와 벡터로 옮겨갔다.

매개변수로 나타내어진 함수와 음함수의 미분법이

기하와 벡터로 옮겨간 것 이상으로 큰 사건이다.

이 부분도 기하와 벡터에서 자세히 이야기하겠다.

단순한 단원의 이동 이상으로 큰 의미가 있다.

문과편에서도 언급했지만

내용의 차이점도 보아야 하고

배우는 순서의 차이점도

반드시 짚고 넘어가야 하는 부분이다.

5. 적분과 통계

① 적분법 – 미분하고 다른 점이 있나?

적분법에 대한 부분도 미분법에 대한 내용과 크게 다르지 않다.

부정적분과 구분구적법 및 정적분의 정의와 성질

그리고 다항함수의 적분과 활용에 대한 부분은

모두 미적분Ⅰ에서 학습하고 와야 한다.

이만하면 꺼진 불도 다시 보고 싶지?

여러 가지 적분법과 초월함수의 적분과 활용에 대한 내용은

미적분Ⅱ으로 편성되었으며 직접출제범위이다.

역시나 초월함수에 집중하겠다는 말이다.

주목해야하는 부분은 정적분의 활용이다.

넓이와 적분 부분은 큰 문제가 없는데 비하여

부피와 적분 부분에서 회전체의 부피가 삭제되었다.

지금까지는 무언가가 삭제되면 좋아했는데

이건 별로 그렇지 않을 것 같다.

공부해 본 사람은 알겠지만

부피는 차라리 회전체 부피를 구하는 것이

훨씬 편하기 때문이다.

또 한 가지는 좌표평면 위에서

곡선의 길이를 구하는 내용이

기하와 벡터로 이동하였다.

이미 눈치 챈 학생들도 있겠지만

수Ⅱ의 평면 위의 운동 부분이

기하와 벡터로 옮겨 갔다면

따라갈 수밖에 없는 운명이었다.

이것도 기하와 벡터에서 이야기하도록 하자.

② 순열과 조합 – 다른 듯 다르지 않네.

이과 학생들의 순열과 조합은 07’개정수학에 비해서

달라진 점이 거의 없다고 할 수 있으므로

딱 두 가지만 이야기하고 넘어가겠다.

첫 번째는 Vol.1에서 언급했듯이 고등수학(하)에 있던

경우의 수와 순열과 조합이 확률과 통계로 들어오면서

직접출제범위가 되었다는 점이다.

하지만 크게 신경이 쓰이는 부분은 아니다.

두 번째는 분할이라는 내용의 추가이다.

자연수와 집합의 분할이라는 예전 이산수학내용이다.

하지만 평가원에서 이 부분에 힘을 실어 줄 가능성은 적은 것 같다.

개인적으론

행렬과 그래프와 같은 신세가 되지 않을까?

라고 조심히 예상해본다.

③ 확률 및 통계 – 달라진 게 좀 보이니?

이과수학에서 순열과 조합과 마찬가지로

09’개정수학으로 바뀌면서 달라진 점은 크게 없다.

그래도 사소하게 달라진 점을 몇 가지 이야기하고 가도록 하자.

첫 번째는 독립시행의 정리와 이항분포를

함께 묶어서 학습할 필요가 있다는 점이다.

따라서 둘의 관계를 잘 이해하는 것이 중요하다.

두 번째는 연속확률분포에서의

평균과 분산을 계산하지 않는다.

굳이 제한된 부분 때문에 대수적인 부담감을

주고 싶지는 않은 것 같다.

세 번째는 정규교육과정에

표본표준편차에 대한 기호인 S도 추가되었다.

하지만 이전 교과서들에서도 이미 소개가 되어있었기에

과연 이 부분에 대한 직접적인 문제가

출제될지는 아직 미지수이다.

6. 기하와 벡터

① 일차변환 – 같이 갈 사람이 있으니까.

수Ⅰ의 행렬과 함께 이제 우리 곁에서 떠났다.

정말 잠시 다시 왔다가 금방 다시 떠나는구나.

두 번째로 이야기하는 것이니 조금 쉬어갈 겸 이야기를 하자면

명백하게 행렬과 일차변환이 교육과정에서 없어진 것은 아니다.

다만 고급수학이라는 이름으로 신분이 상승되었을 뿐.

개인적으로는 고급수학에서 행렬과 일차변환

그리고 벡터를 학습하는 방법은

학생들이 대학교에 가서 선형대수학을 학습할 때

훨씬 많은 도움을 받을 수 있을 것이라고 생각한다.

② 이차곡선 – 껍데기는 가라.

07’개정수학에서의 이차곡선은

09’개정수학에서 평면곡선이라는 이름으로 바뀌었다.

전에도 이야기했지만 쓸데없이 이름을 바꿨을 리가 없다.

일단 기본적으로

포물선, 타원, 쌍곡선의 정의가 가장 중요하고

그 방정식을 구하는 것이 기본이다.

달라진 부분의 첫 번째는 직선과의 위치관계가 사라졌다.

주로 판별식을 이용하여

이차곡선과 직선과의 교점의 개수로 판단하였는데

이제는 아예 없다.

왠지 여기까지는 번거로움을 조금 덜어버린 것 같다.

두 번째는 접선의 방정식을 다루는 방식이 완전히 달라졌다.

위에서 수Ⅱ의 매개변수로 이루어진 함수와 음함수의 미분법이

기하와 벡터로 옮겨왔다고 이야기 한 것이 기억날 것이다.

이것과 매우 밀접한 관계가 있다. 진짜 중요하다.

07’개정수학에서는 이차곡선의 접선의 방정식을

판별식 D=0을 이용하여 접점 또는 기울기가 주어져있을 때의

공식을 유도하고 이를 활용하는 방법으로 진행되어왔다.

하지만 09’개정수학에서는 이차곡선의 접선의 방정식을

음함수의 미분법을 이용하여 구하게 되었다.

이걸로 끝이 아니라 이차곡선을 매개변수를 이용하여 나타내고

이를 다시 매개변수로 이루어진 함수의 미분법을 이용하여

접선의 방정식을 구한다.

수리논술을 준비했거나 출제가능성이 적더라도

아주 극상위 수준의 학습을 한 친구들은 한 번쯤 접했을 수 있는 내용이다.

이젠 정식으로 교과과정에 들어왔고 수능에도 출제될 것이다.

더 이상 이차곡선이 늘 나오던 패턴대로

정의만을 이용한 이차곡선 문제가 나오지는 않는다.

정신 똑바로 차리고 준비하기를 당부한다.

③ 공간도형과 공간좌표 – 난 아직 괜찮아.

공간도형과 공간좌표만의 내용은

그대들이 학습했던 내용에서 크게 달라진 점이 없다.

하지만 반대로 이야기하면 여전히 공간도형은

어렵고 철저하게 준비해야하는 부분이다.

학습내용은 달라진 것이 없으나 구성이 살짝 바뀌었다.

이 부분은 밑의 벡터에서 자세하게 이야기 하도록 하겠다.

④ 벡터(1) – 둘이 되어버린.

드디어 마지막 끝판왕까지 왔다.

크게 다른 것이 없으니 열심히 공부해라.

이렇게 마무리하고 싶으나 그럴 수가 없다.

원래도 끝판왕이었는데 바뀐 뒤에는 더 심하다.

너무 많은 부분이 우리를 힘들게 하지만

천천히 하나씩 정리해보도록 하자.

첫 번째는 평면벡터와 공간벡터를 분리했다.

07’개정수학에서는 공간도형과 공간좌표 ⇨ 벡터

이런 순서로 평면벡터를 배우고 바로 공간 벡터를 배웠다.

하지만 09’개정수학에서는 평면벡터를 통해서

벡터를 배우고 나서 공간도형과 공간좌표를 배우고

그 다음에 공간벡터를 배우는 방식을 취하고 있다.

그렇다고 배우는 내용이 크게 달라지지는 않았다.

다만 추가된 내용을 확인하자면

원래 우리는 좌표공간상에서 벡터를 이용하여

직선과 평면의 방정식을 구하는 것만 학습했다.

하지만 이제는 좌표평면상에서 벡터를 이용하여

직선과 원의 방정식을 구하는 내용이 추가되었다.

사실 이 부분을 공부하는 것에는 별 문제가 없을 것이다.

다만 왜 이렇게 교육과정이 바뀌었는지를 확인하기를 바란다.

이는 우리가 기울기를 통해 이해한 평면상의 직선과

방향벡터를 통해 이해한 공간상의 직선의 상관관계를

정확하게 짚고 넘어갈 필요가 있다는 이야기이다.

사실 직선의 방정식은 평면상에서 정의하든

공간상에서 정의하든 그 일반성을 잃지 않는다.

반드시 이것을 기억하고 있었으면 한다.

⑤ 벡터(2) – 하나가 되어버린.

벡터는 이야기가 너무 길어지는 관계로 나누어쓰도록 하겠다.

두 번째는 수Ⅱ에서의 평면위의 운동과

적분과 통계의 곡선의 길이가 합쳐져서 ‘평면운동’이라는

이름으로 기하와 벡터로 옮겨 왔다.

기본적인 수직선상에서의 운동은

속도와 가속도 그리고 속도와 거리라는 단원으로

미적분Ⅰ에서 학습하게 되어있다.

사실 이 부분은 매우 올바르게 바뀌었다고 생각한다.

07’개정수학에서 벡터를 안 배운 학생들이

수Ⅱ에서의 평면운동을 이해하는 것을 무리가 있었다.

평면벡터의 기본적인 내용을 이해하고

평면운동을 학습하면 훨씬 수월하게 이해가 가능하다.

다만 우리는 이미 알고 있는 내용이라서 상관이 없지만.

하지만 반드시 기억해두어야 할 것은

이 부분이 기하와 벡터로 옮겨왔고

기하와 벡터 출제 비중이 증가했으므로

출제가능성이 상당히 높아졌다는 것이다.

그리하여 결국 최종적인 학습순서는

평면벡터 ⇨ 평면운동 ⇨ 공간도형과 공간좌표 ⇨ 공간벡터

이러한 순서로 학습을 하게 되어있다.

⑥ 벡터(3) – 끝난 줄 알았지?

아직 안 끝났다.

세 번째로는 좌표공간에서 벡터를 이용하여

구의 방정식을 구하는 내용의 추가되었다.

이건 이미 알고 있는 학생들도 많을 것이고

좌표평면상에서 벡터를 이용하여

원의 방정식을 구하는 내용이 확장된 것이므로

크게 어려움이 없을 것이다.

진짜 중요한 마지막 이야기는

평면상에서의 직선의 방정식과

공간상에서의 평면과 직선의 방정식이

각각 유도과정에 따라 매개변수와 음함수의 표현임을 알아야하는 점이다.

또한 앞에서 언급했다시피 이미 매개변수로 나타난 함수와

음함수의 미분법이 기하와 벡터로 옮겨왔다.

이제는 음함수와 매개변수를 이용한 함수가

굉장히 중요해지고 출제가능성이 높다는 것이다.

이 부분은 학생들이 특히 어려워할 것이므로

수없이 반복해서 연습하기를 바란다.

이과편 Vol.2는 수Ⅱ와 적분과 통계

그리고 기하와 벡터에 대한 이야기였습니다.

수Ⅱ에서는 주의할 점은 미적분Ⅱ로 옮겨가면서

초월함수에 집중하고 있다는 점입니다.

고1때 배웠던 삼각함수도 직접 출제 범위가 되고

배우는 순서도 바뀌었습니다.

다시 한 번 당부하지만

자신이 없는 학생들은 반드시 미적분Ⅰ을

다시 학습하고 미적분Ⅱ로 넘어가야합니다.

적분과 통계는 비교적 변화된 점이 적습니다.

적분도 수Ⅱ와 마찬가지로 초월함수에 집중하였고

분할이 추가되었다는 점을 확인하시면 됩니다.

마지막으로 가장 많은 변화가 있는 기하와 벡터는

일차변환의 삭제와 평면벡터와 공간벡터의 분리 및 평면운동의 이동

그리고 직선과 평면의 방정식을

매개변수와 음함수의 표현으로 이해하는 것이 중요합니다.

지금까지 07’개정수학 Bridge 09’개정수학

칼럼을 읽어주신 분들 모두에게 진심으로 감사드립니다.