23학년도 수능 기하 30번 공간벡터로 풀기
삼각형 PQR의 넓이와, 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 알면 됩니다.
무슨 이유에서인지 점의 레이블을 걸어주지 않았습니다;;
당황스러우니 먼저 정하죠.(윗꼭짓점-밑면 삼각형 반시계방향 순으로 쓰는 것이 보통 일반적입니다.)
먼저 삼각형 PQR의 넓이를 먼저 구하겠습니다.
정사면체 ABCD와 정사면체 APQR는 닮음입니다.
따라서 삼각형 BCD와 삼각형 PQR은 닮음입니다.
(참고로 입체도형의 닮음비와 평면도형의 닮음비는 같습니다.)
그러므로 삼각형 BCD의 넓이와 두 정사면체 사이의 닮음비를 안다면 '넓이비=닮음비 제곱'을 이용하여 삼각형 PQR의 넓이를 구할 수 있습니다.
정삼각형의 경우 외심이 곧 무게중심입니다.
그리고 이 외심은 문제에서 주어진대로 구 S의 중심이므로 점 P와 점 O를 이어준 길이는 곧 반지름이 됩니다.
따라서 이등변 삼각형의 이미지가 나오게 되고 우리는 밑변에 수선을 내려 직각삼각형을 작도할 수 있습니다.
그런 다음 반지름에 정사면체에서 직선과 밑면이 이루는 각의 코사인을 곱하여 윗 그림과 같이 결국 AP의 길이를 알 수 있게 됩니다. 따라서 두 정사면체의 닮음비는 AP:AB=1:3입니다. 이것이 곧 삼각형 PQR과 삼각형 BCD의 닮음비이므로 둘의 넓이비는 1:9가 됩니다. 따라서 삼각형 BCD의 넓이를 9로 나눠준 값이 삼각형 PQR의 넓이가 되겠네요^^
구해주면(윗 그림 참고) 
이제 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 구합시다.
그런데 평면 α는 구에 접하는 평면이므로 법선이 확실하게 보장되어있습니다. 따라서 이면각을 교선을 찾아 그대로 보기 보다는 법선과 법선이 이루는 각으로 봐도 상관이 없습니다. 즉 두 평면에 대한 법선벡터를 성분화할수만 있다면 내적을 통해 cosθ를 쉽게 구할 수 있는 것이죠.
성분과 좌표는 동일한 것이 아니지만 정사면체에서는 다음과 같이 좌표를 잡는것이 가능합니다.
좌표는 분수가 안나오도록 세팅하는 것이 관건입니다.(굳이 구의 반지름이 6이라는 것에 집착할 필요 없어요. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하여 다 닮음인 공간도형이므로 법선벡터끼리는 평행합니다.)
아무래도 삼등분점 상황, 무게중심을 구할때 3으로 나누는 것, 최소 단위의 숫자를 사용할 것을 모두 감안하게 되면 단위값을 3으로 설정하는 것이 좋습니다.
이제 각 평면에 대한 법선벡터를 구해 볼게요.
먼저 평면 PQR에 대한 법선벡터는 그냥 (1,1,1)로 잡으시면 됩니다. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하는 모든 정사면체의 법선벡터는 가장 간단하게 표현할시 (1,1,1)이 될 수 밖에 없습니다.
이제 평면 α에 대한 법선벡터를 구해봅니다. 구에 접하는 평면이므로 그 법선벡터를 알려면 구의 중심과 접점에 대한 정보가 필요합니다. 따라서 구의 중심은 (2,2,2), 접점은 (1,1,0)이므로 빼주면 법벡은 (1,1,2)
내적을 통해 cosθ를 구해주면 
따라서 정사영은 
제곱해주면 답은 24.
봐주셔서 감사합니다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋앗어 4
수학1 이녀석 이제 거의 다 파악햇다 별거 없군 ㅋ
-
수학1 4
수학2 미적분
-
스나는 이게 2
가 나 다 어디에 쓰는거임?
-
내일 마감직전경쟁률까지만 기다려야겟다
-
근데 간지는 기하임 15
기하라는 과목이 뭔가 그냥 고능해
-
고대 문과랑 성대 자전으로 가서 전전이나 솦 가는 것 중에 뭐가 나을까요? 고대...
-
어디가 맞음?
-
어 느새 부터 수학은 안멋져
-
문제 풀어도 되겟는걸
-
주관식 4점짜리 문제에서 그래도 다 풀고 나온 답에 어느정도 확신을 가질수가 있음
-
추천받음
-
ㅁㅌㅊ
-
내란 불확실성 해소는 미적평 하하하하
-
1월 동안 독서수업만 진행되는데요 그동안 문학은 어떻게 공부하셨나요?? 오늘...
-
지금 일어났네 11
하이고야 다시 잘게요 굿밤
-
감사합니다
-
왜안함?
-
소수과 0
부산 경북라인 꼬리과 10명 뽑고 지금 제가 3등인데(8칸)...이거 안정으로 볼...
-
ㅉㅉ
-
그러니까 붙여줘요……
-
어디까지 됐는지 아시는 분 있나용
-
436 가능? 3
올해 대학 가기만 하면 됨 ㅇㅇ 나군 바꿀까 3칸에바임? 컨설팅에선 끝자리...
-
주변만 봐도, 좀 더 넓게 보면 정치인들만봐도 반례가 수도 없이 많다. 다들 사람 잘 거르시길
-
재수학원 상담도 받고 메가지원도 했는데 재수학원 상담에서는 최초합 점수보다 높고...
-
465... 0
진짜 465 이거 쓸만하냐... 6어떡하지...
-
나 진짜 못참아 이제 해줄만큼 해줬어
-
너무 살 쪗더 5
너무ㅠ몬상겻어 카아악 퉤
-
기계 인기 줄었다 요즘 다시 인기 생기는 거 같고 컴공은 계속 입결 오르더니...
-
진학사 6칸이상 받아놓고 내신때문에 떨어진 사례 아시는 거 있나요 연도랑 과같은거...
-
진짜 조오오오오온나 열심히 살면 불가능은 없겠지만 결국은 학고반수로 방향 틀게 될...
-
그 고닉 미래 13
ㄷㄷ
-
몸무게 신경 쓰지마 넌 그냥 그대로 너무 예쁜걸
-
진짜 여름에 재수 때도 삼수 때도 공부 의지며 의욕이 확 꺾임… 올해 여름에 저 잡아주실 분 구해요
-
투표 결과는 좋은 곳에 사용하겠습니다. 역대 투표 우승자 명단 : 144, 37
-
수능 치면서 능지가 ㄹㅇ 많이 올라갓음 근데 안치니깐 저능아됨 큰일낫음 이제 능지 대하락장임 지금
-
맞나이게 5는 붙는카드긴함
-
꿈이 없는데 0
꿈이 없어서 뭘 해야할지 모르겠음 한 3년동안 정말 하고 싶었던게 있었는데 부모님...
-
ㅜㅜ
-
곧 20렙이네 1
뉴스O 권한 생기는
-
반드시 그 중 하나가 되겠다
-
없겠죠?
-
가군에 경희대 국제캠 어문계열 학과 4칸 뜨는거 스나하는게 나을까요? 아니면 다군에...
-
왜 나는 바로 원서를 안넣고 계속 진학사를 보고 있는거지
-
사설 푸는데 킬러를 풀지를 못하겠네요 사설 풀면 거의 항상 90점대였는데 이제...
-
남자라면 어떤가요
-
연대 간호런한다는 글이 많이 보이는데 아무리 대학 뽕이 간절해도 남자면낮공...
-
나 말했음 진짜 경고햇다
-
꿀물 제조 5
-
홍뱃 신청 넣음 1
전화추합했던 물론 안 갔지만
-
심심한데 무물 11
질문 받아요 질문해주세요
고능아
감사합니당
않이..
저는그냥 선 찍찍 긋고 풀래요
기하는 알아도 기벡은 잘 몰루..
사실 제가 푼 풀이는 굉장히 돌아간 풀이에여. 마지막처리 과정에서 길이 다 알 수 있으니 그냥 코사인 법칙 쓰면 됨 ㅋㅋ
그냥 정사면체 좌표 잡는거 적용해서 풀려고 억지로 공간벡터를 사용한 감이 있죠.