이차함수 공통접선과 확장
오랜만에 오르비 들어와서 눈팅이나 좀 하다가
수학 질문글을 발견했습니다.
질문은 아래와 같습니다.
(원본링크는 댓글에 있어요.)
아래 그림과 같이 교점이 없고 최고차 부호 다른 두 이차함수에 대해 반드시 두 개의 공통접선이 존재하냐는 겁니다.
여러분은 어떻게 생각하시나요?
다른 좋은 방법도 많겠다만...
질문을 보자마자 제가 떠올린 건 차이함수입니다.
저 그림은 사실,
이거랑 똑같은 그림이에요.
"이거"가 뭐냐면 축이 일치되어 있고 부호는 다른 이차함수입니다.
이 경우에는 당연히 접선 두 개 날릴 수 있겠죠.
그림이 선대칭이므로 한쪽에 그을 수 있다면
그 반대편에도 똑같이 그을 수 있으니까요.
두 접선은 기울기의 절댓값도 같을 겁니다.
그럼 요지는 이겁니다.
왜 질문자의 그림이 위 그림으로 바뀔 수 있는 것일까요?
어... 답은 되게 간단한데요,
그냥 그림의 모든 함수에다가 적절한 일차함수를 빼줘서
축을 움직여가지고 반드시 일치시킬 수 있기 때문입니다.
근데 그림의 모든 함수에 적절한 일차함수를 뺀다는 게 도대체 무슨 말일까요?
아래 평가원 기출 문제를 보겠습니다.
일단 문제상황을 그려보면 다음과 같습니다.
근데 여기 보이는 모든 함수에다가 y=ax를 뺄거에요.
이때 중요한 점은, 교점의 x좌표들이 모두 유지된다는 것입니다.
왜일까요?
방정식의 관점에서 보면 그 답을 쉽게 찾을 수 있습니다.
방정식 f(x)=ax+b의 해를 구하나,
방정식 f(x)-ax= b의 해를 구하나
당연히 똑같은 해가 나올 겁니다.
두 접선이 만나는 점의 x좌표, 즉 k는 왜 유지되는지도 볼까요?
왼쪽 빨간색 접선 식을 mx+n, 오른쪽 접선 식을 px+q라 할게요.
그러면...
위를 계산하나 아래를 계산하나 해는 똑같겠죠.
그래서 전체 그림에 동일한 함수를 빼도 x좌표는 유지가 되는 겁니다.
그래서 한 번 빼볼게요.
그럼 이렇게 나올 겁니다.
사차함수가 선대칭이므로 k는 아무 계산 없이 1/2이라는 걸 알 수 있어요.
전체 그림에 함수를 "빼는" 것만 가능한가요?
아니요!
전체 그림에 함수를 나눌 수도 있습니다.
이미 여러분들이 아주 많이 쓰고 있는 스킬이에요.
궁금한 분들은 아래 링크를 타고 들어가시면 됩니다.
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#무민
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크아아아어ㅏㄱ개시발랸들아씨발내가뭘잣못ㅎ햇ㅅ늨ㄴ데씨밯짘짜 아니시ㅇ발왜대체...
질문자 원본 글입니다.
https://orbi.kr/00068687892
정시의벽이 쏘아올린 공
ㄷㄷ닉언
캬ㅑㅑㅑ무민 님ㄷㄷㄷ