9월 수학 연계문항 그리고 '쉬웠다'에 대하여

안녕하세요 수학강사 이대은입니다.

원래 당일 새벽에 올리려 했는데 수업이 많아서 많이 늦어졌네요 ㅠㅠ

우선 다들 심적 부담이 컸을 9월 모의고사 보시느라 고생 많으셨습니다.

1교시가 고생인 것으로 알고 있는데 2교시도 초반부터 만만하지 않아서 더욱 체감상 어려운 시험이 아니었나 생각합니다ㅠㅠ

먼저 첨부된 파일은 이번 9월 모의고사 ebs 연계문항이에요! 

3점도 많은 연계문항이 있지만 4점 문제만 자료로 만들었어요.

한 번 보시고 만약 연계가 체감이 된다면 이런 느낌이겠구나를 느껴보시길 바랄게요!!

이번 글에서는 해설강의와 함께 간단한 총평을 해볼게요!

먼저 난이도에 대한 저의 개인적인 의견을 말씀드리면 고정 상위권이 아닌 이상 현장에서 이 시험을 본 학생분들은 절대 난이도가 쉽지 않았을거라 생각해요.

우리는 개별적으로 한 문제씩 보는 것이 아니라 100분이라는 타임어택 시험을 보기 때문이죠.

제가 수업 때 매번 말했지만 만약 킬러문항이 정말 없어졌을 떄 그 난이도가 어디에 분배될 것인가에 대해 많이 고민을 했고, 저는 그 난이도가 시험지 초반부에 갈 것이라 생각했어요.

역시 이번 시험은 초반부에 얼마나 템포 조절을 잘 하느냐에 따라 점수에 영향을 많이 줬을 것 같아요.

만약 본인이 다시 풀었을 때 쉽게 다시 풀렸거나 해설을 봤을 때 보자마자 무난하게 이해가 됐다면 한 번 본인의 문제풀이 습관을 점검하는 것이 좋아요.

이번 시험처럼 시간관리가 철저하게 요구되는 시험지에서는 단순히 답을 내는 것만을 전부로 하는 학습은 시험점수에 별 도움이 되지 않을 가능성이 높아요ㅠㅠ

우선 문항별 간단한 코멘트와 출제된 유형을 소개할테니 필요한 문항을 골라 읽으시면 도움이 될 것이라 생각해요. 

9번 (연계: 수능특강 수학Ⅰ/49쪽/8번)

이 문제는 제가 수업 때 만약 삼각함수의 그래프가 생소하게 나오면 나온다고 수업시간에 예시를 든 문제가 숫자마저 똑같이 나와서 저도 놀랐어요. 유형을 먼저 정리해볼게요

1. 부등식의 해를 구할 때 항상 방정식의 해를 먼저 구한다.

2. 각변환을 이용하여 사인값과 코사인값을 서로 바꿀 수 있다. 

이 두 가지 유형에 대한 학습이 되어있고, 특수각이 아닌 각이 나온 것에 당황하지 않았다면 무난하게 풀엇을 것이라 생각해요. 

10번 (연계: 수능특강 수학Ⅱ/56쪽/1번) 

이 문제는 문제에 주어진 조건을 수식으로 바꿔서 표현했을 때까지는 쉽게 풀리겠구나라고 생각했을 것 같아요. 그런데 여기서 만약 삼차함수를 의 형태로 두고 관계식에 대입했다면 생각보다 복잡한 식들에 당황했을 것이라 생각해요. 하지만 만약

1. n차함수 구하기는 항상 n+1개의 관계식을 구하면 된다.

2. 다항함수 구하기는 인수정리나 나머지정리의 형태로 잡는 것이 편하다.

위의 두 유형을 이용하여 미지수가 최대한 적게 나오도록 나머지정리로 식을 표현하고 남은 관계식에 대입하여 미지수를 구하면 계산은 약간 길지만 확신있게 풀이를 밀고 갔다면 막힐 이유는 없는 문제입니다.

11번 (연계: 수능완성 수학Ⅰ‧수학Ⅱ‧확률과 통계/115쪽/7번) 

10번과 마찬가지로 나름 계산량이 많은 문제였는데요. 속도 가속도 개념 대한 확실한 이해가 되어있다면 긴 계산량에도 확인있는 풀이로 답을 구했을 거라 생각해요. 그래도 유형을 정리해보면

1. 두 점 사이의 거리를 정적분을 이용해 표현하기

2. 속도를 이용해 점이 움직인 거리 구하기

정도면 풀 수 있을 것 같아요.

12번 (연계: 수능완성 수학Ⅰ‧수학Ⅱ‧확률과 통계/151쪽/7번)

오랜만에 15번이 아닌 다른 번호로 나온 귀납적 정의네요. 수업시간에도 늘 말했지만 귀납적 정의 문제는 식을 변형하여 조건을 해석하는 상황과 직접 항들을 나열하는 상황을 구분할 수 있어야 해요. 

1. 중간항에 대한 정보와 점화식이 an을 기준으로 삼는 경우는 직접 나열하는 경우가 많다.

2. 케이스를 나열할 때 조건을 만족시키는지 모순성 확인하기.

위 두 유형만 이용하면 최근 귀납적 정의 중에서 가장 무난하게 풀 수 있지 않나 싶어요.

13번 

지금 이 문제가 처음으로 나름 깊은 해석이 필요한 문제라고 생각해요. 코멘트에 앞서 유형을 먼저 소개할게요.

1. 도함수의 부호를 이용하여 함수의 증감상태를 파악하기

2. 이차방정식의 구간에서의 실근의 존재성은 근의 분리 이용하기

유형은 두 가지 뿐이지만 조건을 해석함에 있어 나름 난해한 구조를 보이고, 근의 분리를 사용하는 환경을 명확하게 학습하지 않았다면 나름 어려웠을 것으로 보이네요. 그리고 각각의 구간에서의 두 도함수가 서로 에 대하여 대칭임을 이용하는 풀이도 존재합니다만 어차피 근의 분리에 도달하는 풀이이므로 발상은 좋으나 이 문제에서는 크게 풀이시간을 단축시키지는 않는 것 같네요. 그래도 대칭성이 보였다면 수학문제를 바라보는 시야가 상당히 열려있는 편이니 긍정적으로 생각하시면 될 것 같아요. :)

14번

개인적으로 주관식이 아닌 객관식에 출제된 것이 수험생 입장에선 상당히 다행인 문제라고 생각해요. 문제의 조건을 해석함에 있어서는 수학1 문제 중에서 가장 난이도가 있다고 생각합니다. (사실 수학2를 합쳐도 가장 어려운 편에 있어 크게 밀리지 않는다고 생각해요.) 우선 2021년 3월 공통13번에서 다룬 개념이 베이스로 깔려있는데 이 문제를 학습한 학생이라면 풀이의 시작은 대충 했을 것으로 예상이 되네요. 다만 이번 14번이 집합을 이용한 조건 때문에 훨씬 어려운 건 사실이에요. 

1. 집합의 원소는 중복이 되지 않는다.

2. 지수함수의 함숫값 중에서 정수인 점의 개수는 점근선에 영향을 받는다.

3. 부등식의 해는 방정식의 해와 큰 연관이 있다.

4. 자연수(정수)조건은 부등식에서 수의 특정을 가능하게 한다.

간략하게 적어도 벌써 네 가지의 유형이 보이는 문제네요. 일단 집합과 관련된 학습을 깊게 한 수험생이 많지 않은 것으로 보아 제한된 시간 내에 무난하게 보일만큼 간단한 문제는 아니네요ㅠㅠ 그리고 앞선 문제들도 마찬가지지만 이 문제 역시 13번과 마찬가지로 100분을 운영함에 있어 큰 방해가 되지 않았을까 싶어요..

15번

이 문제는 제가 본 첫인상부터 말씀드리면 수학1에서 출제가 되지 않은 것이 1차 쇼킹이고, 난이도가 2차 쇼킹이었어요. 킬러가 쉬워질 거란 생각은 했지만 이정도로 무난하게 출제될 거란 생각은 못했거든요. 유형소개부터 할게요

1. n차함수 구하기는 관계식이 n+1개 필요하다.

2. 동일한 x에 대한 극한값과 함숫값에 대한 관계식은 연속성을 나타내는 표지이다.

3. 극한식 내에서 곱으로 표현된 특정 함수가 수렴값을 0이 아닌 값을 갖는다면 미리 계산하여 상수취급 할 수 있다.

4. 수렴하는 분수식에 대하여 분모가 0으로 가면 분자는 반드시 0으로 간다.

5. 0이 아닌 값으로 수렴하는 분수식에서 분자가 0으로 가면 분모는 항상 0으로 간다.

위처럼 나열하면 많은 유형이 들어간 것으로 보이나 푸는 입장에서 보면 생소한 유형이 없어서 무난하게 풀었을 것으로 생각이 되네요. (다만 3.에서 소개한 유형은 읽기에 따라 오류라고 생각되실 수도 있는데 오해 없이 읽혔으면 좋겠네요ㅠㅠ) 제가 생각할 때는 만약 시간에 압박감을 느끼지 않고 이 문제를 읽었다면 기출문제만 풀었다면 웬만한 학생들이 쉽게 답을 냈을 것이라 생각합니다만.. 항상 시험장 내부에서 느끼는 체감 나이도는 문항번호가 결정하는 경향이 있듯이 함부로 모두가 맞췄어야 할 문제라고 말하기는 뭔가 미안하네요..ㅎㅎ

20번 (연계: 수능완성 수학Ⅰ‧수학Ⅱ‧확률과 통계/142쪽/13번)

저는 사실 귀납법을 이용한 빈칸문제가 나올 수도 있다고 생각했는데 보기좋게 틀려버렸어요..ㅎㅎ; 2022학년도 수능 공통15번 이후로 오랜만에 보는 문제인 것 같아요. 항상 전년도 수능이 다음 해의 모의고사에 영향을 주는데, 이때 한참 나오던 유형이에요. 다만 저도 선이라는 기출문제 수업할 때 이 문제는 그냥 가볍게 이런 것도 있다 느낌으로 지나갔는데 이렇게 9월 모의고사에 나올 거란 생각은 못했어요. (아직도 왜 냈을까라는 생각을 합니다만.. 뭔가 단정지지 말아야겠다는 반성을 하게된 문제랍니다..ㅎㅎ) 생소한 유형이라 당황해서 틀렸다는 변명은 성립하겠습니다만.. 조금만 차분히 읽어도 별 것이 없는 문제네요. 유형은

1. 외접원의 반지름이 언급되면 사인법칙인 경우가 많다.

2. 두 변과 각 하나가 주어지면 코사인법칙인 경우가 많다.

이 정도로 정리하면 될 것 같네요. 별다른 코멘트 없이 넘어갈게요!

21번

먼저 제가 요즘 학생들에게 강조한 것 중에서 등차수열과 관련된 고난도 문제가 나올 수 있음을 강조했는데 고난도라고 하기엔 좀 그렇지만 나름 예상이 맞은 것 같아서 나름 기뻤던 문제에요. 이 문제는 다양한 풀이가 존재할 것으로 생각이 되는데요. 제가 한 풀이가 가장 효율적인 풀이다라고 장담은 못하겠지만 무작정 대입이 아닌 수들이 합을 나열할 때 생기는 규칙적인 수의 나열이 뭔가 의미가 있지 않을까 라고 생각하면 나름 논리적인 풀이가 있지 않을까 생각해요.

유형을 볼게요.

1. 처음보는 수열의 합은 항들을 나열하여 규칙을 찾는다.

2. 규칙이 있는 수들의 합은 시그마를 이용해 표현한다.

3. 미지수의 개수가 식의 개수보다 많고 미지수의 자연수(정수) 조건이 주어지면 부정방정식을 이용해 해를 구한다.

4. (자연수1) X (자연수2) = (자연수3)이면 자연수3의 약수를 이용하여 조건을 해석한다.

이 문제는 일단 13의 배수라는 것이 상당히 심적 불편함을 주었을 거라 생각해요. 게다가 주어지지 않은 식을 직접 잡아서 부정방정식의 형태로 해석하는 것도 생각보다 쉽지 않은 생각이란 인상을 주는 문제였어요. 직접 대입을 하여 답을 구하느 것도 가능은 한 풀이입니다만.. 맞추셨다면 축하드리나 수능을 위한 공부를 하는 입장에서는 조금 더 사고하는 시야각을 여는 훈련이 필요하다고 봅니다. (그래도 포기하지 않고 답을 구했다면 충분히 칭찬받을 풀이라고 생각해요!)

22번

이 문제도 15번과 마찬가지로 제 예상보다 너무 쉽게 출제가 된 문제에요. 다만 킬러문항에서 부정적분을 직접적으로 언급한 문제가 엄청 오랜만이란 생각이 들었어요. 말만 부정적분을 언급했지만 사실 적분상수를 구하지 않고도 답을 낼 수 있었기에 최종적으로 구하는 값을 확인하였는지가 풀이시간을 결정하는 중요한 요소라고 생각해요. 일단 유형부터 정리해볼게요.

1. 적분구간에 변수가 들어간 함수가 나오면 항상 두 가지 관계식을 잡는다.

2. 함수의 형태를 보고 특정 함수의 도함수임을 찾을 수 있어야 한다. (미적분 선택자가 많이 학습했을 유형이에요.)

3. 부정적분을 이용하여 정적분값을 구할 때 적분상수는 구하지 않아도 된다.

4. 다항함수라는 언급과 항등식이 주어지면 차수를 구하고, 미정계수법을 이용하여 계수들을 구한다.

정말 오랜만에 22번에서 문제를 보자마자 당연하게 풀이가 떠오르는 문제였어요. 제가 강사라서가 아니라 많은 학생들도 충분히 저와 같은 생각을 했던 것 같아요. 하지만 번호가 번호인만큼 이 문제를 풀 수는 있지만 시험장에서 정말 푼 학생이 몇이나 있을까라는 걱정은 되네요..ㅠㅠ

여기까지가 공통과목 4점 문항에 대한 간단한 코멘트입니다!!

제가 현장에서 만나는 학생들에게 시험전까지 강조한 것이 있는데 시험이 끝나고 이 말을 여러분들께 전달드리는 것이 상당히 아쉬우나.. 제 생각에 올해는 정말 시간관리가 중요한 시험인 것 같아요. 

특히 모든 30개의 문제를 내가 풀 수 있다는 확신으로 접근하는 태도가 점수를 확보하는데에 가장 중요한 부분인 것 같아요. 

따라서 실모를 통한 훈련을 할 떄 단순히 많은 시험지를 경험하는 것이 전부가 아닌 다양한 방식으로 응시해봐서 시험시간 내에 템포조절이 가장 편한 방법을 찾아야 해요.

앞에서도 말했지만 이미 안정적인 점수를 확보한 상위권 학생들은 크게 걱정할 결과가 나오지 않았을 거라 생각이 듭니다만 중상위권 학생들은 많이 무너지는 시험지라는 생각이 드네요..

우선 이 글은 총평이 목적이니 여기까지 글을 쓸게요 ㅎㅎ

모든 학생분들 9월 모의고사 보느라 정말 많이 고생하셨지만 

남은 70일 보다 더 고생하셔서 

꼭 성공하는 올해가 되었으면 하네요 :)

두시간반 자며 적은 글이에요..

부디 도움이 되었길 바랄게요..............ㅎㅎ

만약 좋아요와 팔로우를 많이 해주신다면 

다음 글은 바뀐 수능수학 트렌드에서 

남은 기간동안 반드시 해야 할 수학 공부를 주제로 글을 적어볼게요!

질문은 언제나 댓글이나 쪽지로 환영합니다!~~!

수학강사 이대은

 현) 오르비학원

현) 대치명인학원 중계

현) 여주비상에듀기숙학원

*2023학년도 유료특강 수강생수 전과목 1위

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