231122 g(x) 그래프
글 보고 고민하다가 'g를 확실하게 나타낼 수는 없을까' 싶더라고요. 근데 아무리 찾아도 g(x)의 그래프를 시각화한 것은 없길래 제가 만들어봤습니다. (사실 이전에도 231122에서 g의 그래프를 명확히 확인해보고 싶었는데 다들 x<(f가 극대인 x좌표)인 곳에 1이 있다고 가정하고 g를 해석하기만 하지 g를 구체적으로 제시한다거나 수식으로 정리한다거나 하진 않더라고요. 못하는 건지?)
결과적으로 g(x)는 x>=0.75에서는 sqrt(x-0.75)+2.5이고 x<0.75에서는 sqrt(0.75-x)+2.5가 됩니다. 그래서 x=0.75에서만 미분 불가하고 나머지 실수값들에 대해서는 미분 가능한 함수가 되어요!
이 과정을 고민해봄으로써 얻은 결론(교훈)은 다음과 같겠습니다.
1. f가 극값을 갖는 삼차함수라고 가정하고 직관적인 풀이를 시작하지만 실제로 f'(x)=3(x-2)^2가 되어 극값을 갖지 않는 삼차함수였다. 즉, 실제 상황과 다른 일반적인 상황을 가정하더라도 문제 풀이에 도움을 줄 수 있다.
2. y=f(x)를 x=a에 대칭한 것이 y=f(2a-x)라고 말하곤 하는데 다시 말하면 y=f(x-a)를 x=2a에 대칭한 것이 y=f(a-x)인 셈이다.
3. 누가 231122에서 g를 직접 그래프로 그려 시각화 해볼 생각을 했을까? 했더라도 이렇게까지 구글링 했을 때 얻기 힘든 것을 보면 해본 사람이 많진 않을 것 같다. 하지만 직접 해봄으로써 231122에 대한 보다 깊은 이해를 갖출 수 있고 그 과정에서 대칭성 및 1번과 같은 교훈을 얻을 수 있었다. 즉, 평가원 기출 문항을 말 그대로 분석해보는 것은 학습에 큰 도움이 된다.
어 근데 다시 생각해보니 저거 잘못된 생각이네요. 저건 말 그대로 y=[f(x)-f(1)]/(x-1)의 역함수일 뿐이고 우리가 구하고자 하는 것은 g(x)이지 y=f'(g(x))의 역함수가 아니죠? 그럼 적당히 구간 별로 h(f'(x))=x를 만족하는 함수 h를 떠올려주면 양변을 h에 합성했을 때 h([f(x)-f(1)]/(x-1))=g(x)를 만족하는 좌변의 함수를 찾아줄 필요가 있겠네요!
그렇게 해주면 다음을 얻습니다.
이것이 g의 그래프가 되네요. 그럼 g는 실수 전체의 집합에서 미분가능함도 보일 수 있겠습니다!
루트 안이 항상 양수이니 g는 실수 전체의 집합에서 정의되고 합성함수 미분법을 통해 실수 전체의 집합에서 도함수가 정의됨을 확인할 수 있으니 그에 따라 g가 실수 전체의 집합에서 연속임을 보일 수 있겠습니다. 물론 g의 도함수 또한 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 g가 연속함수임은 자명하겠군요 ㅎㅎ
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순간적으로 'g가 미분 불가한 순간이 생기면 안되지 않나?' 싶었는데 연속이라고만 했으니까 미분 가능할 필요까진 없겠네요 ㅋㅋㅋ "미분가능하면 연속이지만 연속이라고 미분가능한 것은 아니다"도 복습할 수 있겠습니다.
그리고 231122 (가) 조건의 x가 1이 아닐 때의 항등식 [f(x)-f(1)]/(x-1)=f'(c) (c는 x에 대한 함수) 으로 부터 y=f'(c)의 역함수, 다시 말해 c를 직접 떠올리는 과정을 [f(x)-f(1)]/(x-1)의 역함수를 구하는 과정으로 대체했는데
f'(g(x))는 [f(x)-f(1)]/(x-1)에서 (1, f'(1))이라는 임의의 불연속점을 해결한 함수가 되고 g(x)는 그 함수의 역함수가 된다고 말로 정리해볼 수 있겠습니다. 정확히는 x>3/4까지 (g(x)>5/2까지) 만 부분적인 역함수이고 이후는 (나) 조건에 따라 대칭적으로 g가 뽑히네요
수식 풀이도 깔끔한 문제지요
우와 저게 수식 풀이이군요!! 잘 이해가 되지 않는 부분이 두 가지 있는데
1) 처음에 f에 대한 정보를 어떻게 잡으신 건가요? f'(x)=3x^2+2ax+...인 것으로 보아 f(x)=x^3+ax^2+... 로 잡으신 것은 알겠는데 일차항을 어떻게 처리하신 것인지 잘 이해가 안됩니다. (가) 조건의 수식을 정리한 과정을 조금 더 구체적으로 설명해주실 수 있을까요?
2) a=-12가 '우연근'(?)이라서 안된다고 말씀해주셨는데 이것이 정확히 어떤 의미이며 그래서 어떻게 배제할 수 있는 것인지궁금합니다
1) 다항식을 약분하면 됩니다. 분자가 다항식이고 x=1 을 근으로 갖는것에서 가약임을 간단히 알 수 있습니다
2) 무연근은 과거에 정의역 또는 치역이 제한된 방정식을 풀때 나오는 용어로, 위 절댓값이 포함된 방정식에서 플러스 또는 마이너스 두 경우로 절댓값을 풀때 하나는 답이 안되는걸 아실 수 있습니다.(그래프로 보면 직관적이긴 합니다)
f(x)-f(1)=(x-1)Q(x)라는 점에서 Q(x)=x^2+ax+b로 잡고 진행하셨다는 뜻이군요. 그런데 그럼 우변의 [f(x)-f(1)]/(x-1)은 x^2+ax+b가 되고 좌변의 f'(g)는 g^2+ag+b+(g-1)(2g+a)가 되어 식을 정리하면
3g^2+2(a-1)g-(x^2+ax+a)=0
이 되지 않나요? 사진에는 3g^2+2ag-[x^2+(a+1)x+a+1]=0이라고 되어 있어 여쭤봅니다. 그리고 저기서 g에 대한 이차방정식의 판별식이 0 이상임을 활용하신 것은 '이를 만족하는 g가 어떤 x값에 대해서든 존재한다'라는 점에서 떠올리신 건가요? (수학(상)이나 수리 논술 문항 공부할 때 접했던 발상 같긴 한데 아직 제게는 어색해서요, 그 사고 과정이 궁금합니다)
무연근에 대해서는 이해했습니다! 그냥 '상황을 만족하지 않으므로'라고 바꾸어 말할 수 있겠군요
아하 f(x)=(x-1)(x^2+ax+b)가 아니라 f(x)=x^3+ax^2+bx-3로 잡으신 것이었군요, 감사합니다!!
각도가 틀어졌네요;
넵 g가 어떤 x에 대해서도 존재한다는 논리가 맞습니다
근데 수식 풀이가 논술 기준에선 그냥저냥 할만한 정도 아닌가요..? 전 오히려 직관적으로 풀려다가 계속 절어서 결국 현장에서 못풀었는데..
동의합니다, 그런데 저는 왜인지 f(x)-f(1)을 직접 수식으로 잡아서 f'(g(x)) 또한 전개해 다시 정리해볼 생각은 하지 못했어요... (전 수리 논술 찍먹밖에 안해봐서 잘 모르긴 합니다)
혹시 시간 되시면 본문 수정한 것 확인해주실 수 있을까요? 원래는 [f(x)-f(1)]/(x-1)의 역함수를 활용함으로써 g(x)의 그래프를 그렸다고 생각했는데 다시 보니 그것은 말 그대로 f'(g(x))의 역함수일 뿐 g(x)가 아니더라고요. 실제로는 f'의 역함수 h를 잡아 h에 [f(x)-f(1)]/(x-1)를 합성하는 쪽으로 생각했어야 하고 그럼 g가 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수로 나오네요
f'의 역함수라는 표현은 좀 그렇지요 구간을 끊어야 하는데 미지상수가 엮여있어서.. 정 하자면 구간을 끊어야 할듯 싶은데 결국 두 근중 하나를 정하려면 직접 구하는 수밖에 없을것 같아요
번외로 출제교수님들은 당연히 제 풀이같은 부분을 사전에 설계하고 출제하셨을것이라 생각합니다. 출제의도에 대해서 논란(?)이 조금 있는것 같더라구요
g(x)의 함수식을 구한다는 관점에서 이미 f(x)=(x-1)(x-2.5)^2+(3x+13)/4임을 알고 있다 가정하면 어떨까요? 그럼 f'(x)=3(x-2)^2이고 f'(g(x))=3(g(x)-2)^2에서 g(x)가 2.5이상이므로 f'의 역함수가 존재하도록 구간을 특정해줄 수 있고... (2.5 이상인 x에 대해 f'를 바라보는 식으로)
이때의 f'의 역함수는 sqrt(x/3)+2가 되므로 여기에 [f(x)-f(1)]/(x-1)을 합성하여 g(x)를 식으로 나타낸다는 생각은 어떨까요?
오 출제 교수님들이 위와 같은 수식 풀이를 의도했을 것이다... 그럼 이 문항이 1711나30을 바탕으로 만들어졌을 것이라는 주장에 더 힘이 실리겠네요. 조만간 공부해서 정리해봐야겠습니다
아 의도했다는건 전혀 아닙니다; 기울기 함수 풀이가 정석이 맞을거 같아요 다만 문제를 설계하면서 이런 부분은 체크하고 넘어가셨을거라는 의미입니다
아하 의도한 것은 아니지만 출제 전 분명 확인하셨을 것이란 뜻이었군요, 확인했습니다. 함수식을 이미 알고 있을 때 괜찮지만 풀이 중에는 적절하지 않을 수 있다는 생각도 확인했습니다, 시간 내어 생각해주셔서 정말 감사드립니다!
함수식을 이미 알고 있는 상태에선 괜찮은 부분입니다 다만 모르는 상태에서 문제를 풀때 역함수로 접근하기는 무리가 있다는 의미였습니다
아닙니다 좋은 밤 되세요!
혹시 수학 기출분석에 관련해 질문 드려도 될까요?
네! 남겨주시면 확인하는 대로 답 남겨두겠습니다
질문 드리기 앞서 현재까지 저는 지식 쌓는데에 집중해서 공부를 해왔습니다. 근데 4덮을 응시한 후에 풀어본 문제라면 어찌해서 풀고 풀어보지 못한 문제라면 아무것도 못하는 것을 느끼고 공부 방향을 바꿔보고자 여러 칼럼을 참고해 공통점을 찾아본 결과 수학 문제를 풀때 생각하는 방식을 배워야하며 구체적으로는 어떤 개념이 쓰였고, 어떤 사고로 접근해 나가야하는지를 배워야한다는데 이것을 해나가려면 어떤 방식으로 공부를 해야할지? 그리고 이렇게 하나하나 정리해나가다 보면 수능 수학에서 나올 수 있는 것은 한정되어 있는지가 궁금합니다.(너무 길게 질문 드려서 죄송합니다. 그리고 만약 위의 내용과 다른 견해가 있으시다면 말씀해주세요!)
풀어본 문제면 어찌해서 푸시면 안되고 '완벽하게 논리적으로' 현장에서 풀어내실 줄 알아야 하고요, 우리가 계속 수학을 공부하는 이유는 '처음 본 문제를 완벽하게 논리적으로' 접근할 줄 아는 능력을 기르기 위함이라고 생각합니다. 말씀하신 것처럼 문제를 풀며 아래와 같은 질문들을 떠올려보면 좋다고 느꼈어요!
이 문제를 만드는 데에 어떤 개념이 쓰였는가?
이 문제를 풀 때 어떤 생각을 했어야하는가?
그 생각이 유일한 풀이라면 왜 그렇게 해야하는가?
다른 풀이가 존재한다면 그 풀이는 어떻게 떠올릴 수 있는가?
어떤 풀이가 현장에서의 최적의 풀이인가?
어떤 풀이가 충분한 시간을 갖고 분석할 때 아름다운 풀이인가?
이 문제와 비슷한 평가원 기출 문제로는 무엇이 있는가?
이 문제와 비슷한 교육청/사관학교 기출 문제로는 무엇이 있는가?
(사설 문항을 공부할 때) 이 문제는 어떤 평가원 기출 문제에 기반하여 만들어졌다고 말할 수 있는가?
기반한 평가원 기출 문제가 없다면 이 문제는 '완전히 새로운 문제'라고 말할 수 있는가?
말할 수 있다면 이러한 문제를 수능 당일 현장에서 처음 봤을 때 어떻게 대응할 수 있겠는가?
말할 수 없다면 이유는 무엇인가? 그렇다면 정말 이 문제가 어떠한 평가원 기출 문제에도 기반해 만들어지지 않았다고 단정지은 이유는 무엇인가?
등등.. 저도 제가 개발한 사고 방식을 이어나간 것이 아니라 한완수와 한성은 선생님의 사고 방식을 따라하며 실력을 기른 것이기 때문에 위 질문들을 포함한 제 의견에 새로운 것은 없습니다. 개인적으로는 시대인재books 이해원 분의 '한 권으로 완성하는 수학' 구매하셔서 깊이 있게 10회독 정도 해보시면 수능 때 100점 못 받는 게 더 어렵지 않을까 생각합니다 ㅋㅋ
제 질문애 정성스레 답변해주셔서 감사합니다. 말씀해주신대로 질문해나가며 공부하겠습니다.