2022학년도 6월 14번 논리적 풀이

현장에서는 대충 답 내기 쉽지만 엄밀하게 접근하려면 그리 쉽지 않은 문항의 대표 문항입니다. 차분히 접근해보아요

ㅣabㅣ=ㅣaㅣ*ㅣbㅣ.이므로 절댓값 안을 편하게 정리해봅시다.

g(x)가 연속함수이므로 (가) 조건은 다음과 같이 바라볼 수 있습니다

x=0일 때는 극한 활용해주면 되겠죠

어 근데 이거 우극한이랑 좌극한 나눠주니까 다른 식이 나옵니다.

연속함수 g(x)이기에 x=0에서도 연속일 것이고 그 의미는

입니다. 이때 극한이 존재한다는 것은

이므로 다음에서 우리는 f(-p)+q=0임을 알 수 있습니다. 그리고 g(0)=0입니다.

이제 (가) 조건에서 할 만한 것은 한 것 같으니 (나) 조건을 봐봅시다.

만약 함수 f(x)를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동 하지 않았다면 어떻게 될까요?

f'(x)로부터 f(x) 그래프 그려주면 다음과 같으니

ㅣf(x)ㅣ는 방정식 f(x)=0을 만족하는 x값에서 미분 불가할 것입니다. 즉, g(x)는 해당값에 미분 불가할 것입니다.

그런데 g(x)가 x>0과 x<0에서 정의된 방식을 보면 g(x)는 x=0에서도 미분 불가할 것입니다.

왜냐하면 미분 가능하다는 것은 미분계수가 존재한다는 뜻으로 평균변화율의 우극한과 좌극한이 일치한다는 뜻인데

ㅣf(x)ㅣ는 x=0에서 미분가능하니 g(x)는 x=0에서 미분가능하지 않을 것입니다.

하지만 (나) 조건에 의해 g(x)는 한 곳에서만 미분 불가해야합니다.

이때 ㅣf(x-p)+qㅣ는 사잇값 정리에 의해 x축과 적어도 한 번은 만나므로 미분 불가할 때가 분명 존재합니다.

그럼 우리는 g(x)가 x=0에서 미분가능하도록 만들어주어야 합니다.

다시 말해 ㅣf(x-p)+qㅣ가 x=0에서 평균변화율의 우극한과 좌극한이 크기는 같고 부호는 다른 값으로 수렴하도록 해야합니다.

혹은 이 말이 k, -k 꼴이어서 k, k가 되어 일치한다는 맥락임을 생각하면 0, 0이어도 괜찮음을 알 수 있습니다.

즉, ㅣf(x-p)+qㅣ는 x=0에서 평균변화율의 우극한과 좌극한이 k, -k여야 합니다. (k는 실수. 0을 포함한다는 데에 의미)

이때 p>0, q>0이므로 우리는 f(x)를 왼쪽 혹은 아래로는 평행이동 할 수 없습니다. 오른쪽 혹은 위를 적절히 섞어 평행이동 한 후 절댓값을 씌워주어야 합니다.

앞서 언급한 상황을 만드려면, 그리고 g(x) 연속 조건으로부터 얻은 바에 의하면 ㅣf(x-p)+qㅣ는 (0, 0)을 지납니다.

만약 f(x-p)+q의 극댓값이 양수가 되도록 평행이동을 해주면 방정식 f(x-p)+q=0의 해가 x=0을 포함한 서로 다른 세 실근이 되기 때문에 x=0을 제외하고 ㅣf(x-p)+qㅣ가 두 곳에서 미분 불가하게 됩니다.

따라서 f(x-p)+q가 극대인 점이 원점이 되도록 하면 g(x)는 x=0에서 미분 가능하고 x=0이 아닌 어딘가에서 미분 불가하여 (나) 조건을 만족할 것입니다.

이때 f(x)는 

x=-1에서 극대이며 극댓값 f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)-12=-1-3+9-12=-7이기 때문에

우리는 점 (-1, -7)을 원점으로 옮기는 평행이동을 해야합니다.

즉, p=1, q=7임을 알 수 있습니다.

따라서 답을 구해주면 p+q=8 입니다.

p.s. 함수 g(x)의 x=0에서의 미분가능성을 생각할 때 우리는 두 가지가 가능함을 확인했습니다.

1) g(x)의 x=0에서의 평균변화율의 우극한이 k, 좌극한이 -k (k가 0이 아님, 다시 말해 g(x)가 x=0에서 첨점)

2) g(x)의 x=0에서의 미분계수가 0

그런데 이 아이디어는 얼마 전 시행 된 2023학년도 고3 3월 교육청 모의고사 22번 아이디어와 정확히 일치합니다.

이 문항에서도 주어진 극한이 수렴하기 위해서는 함수 g(x)가 평균변화율의 우극한값과 좌극한값이 크기가 같고 부호가 다르거나 혹은 0이어야 했습니다.

이유는 극한식을 우극한, 좌극한으로 풀어보면 다음이 되는데

이는 앞서 우리가 살펴보았던 극한과 유사한 형태입니다.

ㅣf(x-p)+qㅣ만 p(x)라는 함수로 설정해주면, x가 0으로 가는 상황만 x가 k로 가는 상황으로 생각해주면 더 와닿습니다.

220614의 우리가 방금 설정한 p(x)와 230322의 g(x)가 모두 절댓값 함수를 다루고 있다는 점도 생각하면 더욱 비슷합니다.

물론 220614는 극한이 함수 하나를 대상으로 하고 있고 230322는 평균변화율로 나타난 식을 대상으로 하고 있기 때문에 약간의 차이는 있습니다만

결국 둘 다 k, -k 꼴로 수렴하는 극한에서 절댓값을 씌워 k, k 꼴로 완충해주거나 0, 0 꼴로 아예 눕혀버리는 것이 핵심입니다.

따라서 2022학년도 6월 14번을 제대로 학습한 고등학교 1학년이라면 (물론 고1 때 평가원 문항을 접하기란 심히 어렵긴 하지만)

2023학년도 3월 22번을 만났을 때 3분 내로 답을 냈어야합니다.

본질적으로 같은 아이디어가 포함된 문항이기 때문이죠!

p.s.2 평가원 출제 시험지에서 x학년도라 함은 (x-1)년에 시행된 시험을 의미하고 교육청 출제 시험지에서 x학년도라 함은 x년에 시행된 시험을 의미합니다. 

예를 들어 2023학년도 고3 3월 교육청 모의고사는 2023년 3월에 시행된 시험이고 2022학년도 6월 모의고사는 2021년에 시행된 시험입니다. 참고하시면 기출 문항 검색에 도움이 될 듯합니다.