칼럼5) 생각보다 많이 하는 실수

아래 카톡은 제가 부방장으로 운영하고 있는 오픈채팅 질문방입니다.

진짜 생각보다 많이 하는 실수 ㅎㅅㅎ

여러분도 한 번 두 함수가 어떻게 그려질지 상상해보셔요. 직접 그리셔도 좋습니다.

(x가 한 1000쯤까지는 표현되게끔 큰 스케일로요!)

(더 내리면 답)

아마 셋 중 하나를 생각하셨을 겁니다.

유형 A: 아래 그림처럼 가까워 지지 않고 위 아래로 간격을 유지하는 느낌

유형 B: 아래 그림처럼 서로 가까워지는데 만나지는 않는 느낌

유형 C: 아래 그림처럼 가까워지다가 교차함

위 카톡에서 3컷 판독기 님은 유형 A를 그려주셨습니다. 답은 B입니다.

아니 평행이동한건데 B처럼 가까워져도 되는건지, 오히려 A처럼 간격을 유지해야 하는게 아닌지 의문이 드실수도 있습니다. 

혹시나 A같은 느낌을 상상하셨다면, "x축 평행이동"에 대해 다시 생각해볼 필요가 있습니다.

 다음과 같이 x축 방향으로만 100씩 차이나면 되는 것이지, 위아래 간격을 유지해야할 필요는 없는 것이죠. 로그함수 특성상 x축 간격을 유지하다보면 위아래로는 점점 가까워질 겁니다. 이유를 잠깐 짚고 넘어가자면, 

지수함수에서 x값이 늘어남에 따라 미분계수가 급격하게 커지므로 로그함수의 경우에는 미분계수가 급격하게 0에 가까워집니다. (하지만 절대 0이 되진 않죠)

두 함수 위에 각각 점 A(a,log_3 a), B(a,log_3 (a-100) ) 두 점을 찍었다고 해봅시다. B가 더 아래에 있는 셈이죠. x=a인 곳에서 두 함수가 어떤 상태에 있는지를 관찰해보면, log_3 x 그래프가 점근선에서부터 더 많은 거리를 달려왔습니다. 미분계수가 더 0에 가까운 거고, 즉 더 flat 한거죠. 그래서 y좌표 차이가 줄어들게 됩니다.

그럼 왜 만나지는 않는지가 궁금하실수도 있습니다.

두 함수가 교점을 가진다는 것은 같은 x값에 대해 같은 y값을 가짐을 의미합니다. 로그함수는 증가함수이기 때문에 어떤 y값을 가지는 x가 하나만 존재하는데요, 

log_3 x 함수 위의 어떤 점과 같은 y값을 가지는 log_3 (x-100) 위의 점은 하나만 존재하는데, 그 놈이 x축 양의 방향으로 100만큼 가버린 셈이죠. 그러니 절대 교점이 생길 수 없습니다.

수식적으로 써보셔도 괜찮습니다. 

당연히 없겠죠!

(+내용추가)

Ha_Rua 님께서 그래프 그린 걸 댓글에 올려주셨네요. 보시다시피 A유형과는 차이가 큽니다. 

혹시나 이런 함수를 그릴 상황이 왔을 때, 조금도 헷갈리지 말고 그림을 잘 그려내시라고 글을 써봤습니다.

어떻게 보면 이게 문제를 맞고 틀리고를 결정하는 부분은 아니긴합니다.
근데 제가 처음 지수로그 배우고 나서 이런걸 그릴 상황이 왔을 때 어떻게 그려야 하는가에 대해 고민을 했었던 경험이 있어서, 좀 정확히 그리는걸 원하시는 분들을 위해 써봤어요ㅎㅎ 

참고로 글에 사용한 카톡 유저 분들께는 전부 허락을 받았습니다.

준비한 내용은 여기까지입니다. 오늘 글은 좀 가벼웠죠! 다음에 더 좋은 글로 찾아뵙겠습니다.

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