(칼럼)물리학1 등가속도 운동 문풀 고수만

1. 등가속도 직선 운동의 핵심 첫 번째 : ‘평균 속도’

기본적으로 학생들은 등가속도 직선 운동 문제를 풀 때 세 가지 기본 공식을 배우게 된다.

1) v=v0+at

2) s=v0t+(1/2)at^2

3) 2as=v^2-v0^2

이 중 3번 공식은 변위 s와 구간 양 끝점의 속력을 직접적으로 써야 하는 상황일 때, 특히 일-에너지 단원 문제에서 주로 유용한 공식이다. 1번 공식도 특정 지점에서 속력을 구하거나 나타내야 할 때 쓴다.

그러나 궁극적으로 시간에 따른 물체의 운동 양상을 분석하려면, 2번 공식을 적절하게 잘 활용하는 것이 가장 중요하다.

2번 공식 자체를 암기하는 것도 중요하지만, 이 공식에서 ‘두 가지’ 핵심을 뽑아내서 알고 있는 것이 등가속도 직선 운동 문제를 간단하게 푸는 데 있어서 중요한 지점이다.

첫 번째 핵심은, ‘평균 속도’이다. 등가속도 직선 운동에서 평균 속도의 의미는 다음과 같다.

1) 구간 양 끝점의 속도의 중간값

2) 해당 구간에서 시간이 절반만큼 흘렀을 때의 속도

3) 해당 구간에서 평균적으로 어느 속도로, 즉 일정한 속도로 갔다면 어느 속도로 갔는지를 구한 값

4) 평균 속도=변위/시간 => s/t=v0+(1/2)at (2번 공식)

5) v-t 그래프의 사다리꼴을 직사각형으로 바꿀 때의 높이

평균 속도를 vA라고 하면, s=vAt와 같이 식을 간단하게 작성할 수 있다. 다시 말해 구간의 양 끝에 대한 정보만을 이용하는 이상 해당 구간에서 물체는 vA의 속도로 등속도 운동한 것으로 취급할 수 있게 되는 것이다. 그런데 이 vA라는 값은 등가속도 직선 운동에선 3) 외의 다른 의미를 함께 가지므로 쉽게 구할 수 있으면서도 매우 특별한 역할을 하게 된다.

평균 속도를 통해 '등가속도 직선 운동은 등속도 운동으로 바꿔서 생각할 수 있다'는 사실은 매우 결정적인 것이다. 특히 이런 접근은 가속도가 다른 여러 구간의 등가속도 직선 운동이 나올 때 유용하다. 여러 등가속도 직선 운동의 비교를 여러 등속도 운동의 비교로 바꿔서 접근하게 되면 계산 구조도 단순 비례를 따지는 정도로 간단해지게 된다.

2. 등가속도 직선 운동의 핵심 두 번째 : ‘최고점’

두 번째 핵심은, ‘최고점’이다. 통상적으로 최고점이란 중력을 받으며 물체가 운동할 때 가장 높이 올라가서 속력이 0이 되는 위치나 높이를 말한다. 연직 위로 던져 올린 물체의 등가속도 직선 운동에서는 운동 방향이 반대가 되는 지점이고, 자유 낙하 운동에서는 출발점이기도 하다.

이 최고점을 지금은 편의상 등가속도 직선 운동에서 속력이 0인 점이라고 부르자. 모든 등가속도 직선 운동은 시간 구간을 앞뒤로 연장하면 반드시 최고점이 발견된다. v-t 그래프의 관점에서는 직선을 무한히 연장해서 그려 t-절편을 찾는 것과 같다.

모든 등가속도 직선 운동이 최고점을 가진다고 보면, 모든 등가속도 직선 운동이 최고점에서 출발한다는 생각도 가능해진다. 다시 2번 공식을 살펴보자. s=v0t+(1/2)at^2에서 v0는 처음 속력(v_i)을 의미한다. 즉 v0=0이라면, s는 t^2에 비례하는 값이 된다. 따라서 모든 등가속도 직선 운동은 최고점에서부터 일정 시간 간격으로 s를 구하면 그 값은 1:4:9:...의 비율로 구해지게 된다. 여기서 다시 구간별로 s를 따로 구하면 그 값은 1:3:5:...의 비율로 구해지게 된다. 이 비율에 익숙해지면 실제로 이 비율로 값을 설정한 문제를 매우 빠르게 해결할 수가 있다.

최고점이 중요한 또다른 이유는 대칭성에 있다. 등가속도 직선 운동은 최고점을 기준으로 완벽히 대칭인 운동을 하는데, 다르게 표현하면 물체가 최고점까지 올라갈 때의 등가속도 직선 운동과 최고점에서부터 내려갈 때의 등가속도 직선 운동은 방향만 반대인 동일한 운동이다. 거꾸로 돌린 운동으로 부를 수 있다.

3. ‘가속도 무시’ 풀이

물2의 포물선 운동을 공부한 경험이 있는 학생이라면 ‘중력 무시’ 혹은 ‘중력 끄기’라고 불리는 풀이법에 대해 익숙할 것이다. 중력이 없었다면 물체가 등속도 운동해서 어느 지점으로 이동했을지를 표시하고, 그 지점에서 중력에 의해 낙하한 거리를 표시해서 운동을 분석하는 방법이다. 이런 풀이가 물2에서만 가능한 것은 아니다.

물1을 공부한 학생의 기준에 맞추어 설명하면, ‘가속도 무시’ 풀이란 2번 공식 s=v0t+(1/2)at^2에서 v0t와 (1/2)at^2을 분리해서 운동을 분석하는 방법이다. 구체적으로는 v0의 속도로 등속도 운동했을 때의 변위 벡터를 따로 구하고, a의 가속도로 인해 추가되는 변위 벡터를 따로 구해서 합하는 방식이다. 물1에서 다뤄지는 등가속도 운동은 직선 운동으로 국한되므로 여기서 말하는 변위 벡터란 결국 (+)와 (-) 두 가지 부호만으로 나타낼 수 있다. v-t 그래프의 관점에서는 사다리꼴을 직사각형과 직각삼각형으로 쪼개어 계산하는 것과 같다. 이런 접근은 v0t와 (1/2)at^2 각각의 계산이 앞서 기술한 바와 같이 부담이 적기 때문에 문제 풀이를 더 용이하게 만드는 데 일조할 수 있다.

4. 평균의 평균, 내분점

물1에서는 종종 물체가 등속도 운동, 등가속도 운동하는 구간이 여러 개로 나뉘어져 있는 상황이 출제된다. 이런 물체의 운동을 다룰 때, 각 구간별 평균 속도가 아닌, 전체 시간 구간에서의 평균 속도를 구하고 싶을 때 내분을 활용할 수 있다. 예컨대 연속한 두 개의 등속도 운동 구간 A, B가 있고, A, B에서 물체의 속력이 각각 vA, vB이고, 운동 시간이 각각 tA, tB라고 하자. 이때 A, B 전체 구간에서 평균 속도는 (변위)/(전체 시간)=(vAtA+vBtB)/(tA+tB)이다. 즉 평균 속도는 vB, vA 사이의 tA:tB 내분점이다.

앞서 등가속도 직선 운동은 등속도 운동으로 바꿔서 생각할 수 있다고 하였다. 즉 등속도 운동 구간 2개에 대해 적용한 방법은 곧 등속도 운동 구간과 등가속도 운동 구간의 조합, 혹은 두 개의 등가속도 운동 구간의 조합에 대해서도 똑같이 적용할 수 있다.

5. 예제

22학년도 9평 11번
풀이

[해설]

A, B는 같은 속력으로 등속도 운동하다가 같은 속력으로 빗면에 진입한다. 즉 B는 A의 일정 시간 후의 모습이다. 그 시간을 t라 하면, 3vt=L이다. A는 p를 2v의 속력으로 지나고, t가 지나면 B처럼 q를 v의 속력으로 지날 것이다. 즉 pq 구간에서 평균 속력은 3/2v이다. 즉 pq 구간의 길이는 (3/2)vt=L/2이다.

21학년도 수능 18번풀이

[해설]

B의 처음-나중 속력이 v, v/2이다. A, B가 받는 힘은 같은데 질량이 A가 2배이므로 가속도는 B가 2배이다. 즉 B의 속도가 -v/2만큼 변했으면 같은 시간 동안 A의 속도는 -v/4만큼 변한다. 따라서 A, B의 처음-나중 속력은 v, (3/4)v이다. 결국 A, B의 평균 속력은 (7/8)v, (3/4)v이고, A, B가 이동한 거리가 각각 2d, d+x이므로 비례식을 세워 정리하면 x=(5/7)d이다.

14학년도 6평 7번풀이

[해설]

질량이 1kg, 중력 가속도가 10m/s^2이므로 물체는 1m 낙하할 때마다 퍼텐셜 에너지가 10J씩 감소한다.

a에서 가만히 놓인 물체의 c에서의 속력이 b에서의 2배이므로 a에서 b까지 걸린 시간을 t라 하면 a에서 c까지 걸린 시간은 2t이다. 즉 시간이 2배이고 최고점 출발이므로 각 구간의 길이 비는 1:3이다. 따라서 a, b 사이의 거리는 1m이고, c, d 사이의 거리는 2m이다. ㄱ 거짓, ㄴ 거짓

역학적 에너지 보존으로 6m 낙하한 d에서 운동 에너지는 60J이고, 질량이 1kg이므로 속력은 sqrt(120)m/s이다. ㄷ 참

22학년도 6평 12번풀이

[해설]

A, B가 v, 2v의 속력으로 등속도 운동했다면 거리비가 1:2가 되는 지점에서 만났을 것이다. 그러나 가속도에 의해 만나는 지점이 왼쪽으로 L/3만큼 당겨진 것이다. 가속도에 의한 성분 (1/2)at^2이 L/3인데, 마침 PQ 거리가 L로 3:1의 비를 만족한다. A와 동일한 운동을 하는 물체가 최고점에서 출발했다고 하면, t가 지나면 L/3 낙하하고, 또 t가 지나면 L 낙하한다. 즉 A는 t가 지나면 최고점에 도달해 속력이 0이 된다. P에서 Q까지 t동안 이동하고, 최고점까지 t동안 이동하므로 Q에서 A의 속력은 v/2이다. 2aL=v^2-(v/2)^2에서 a=3v^2/8L이다.

21년 4평 16번풀이

[해설]

A, B가 v0의 속력으로 등속도 운동했다면 같은 지점에 도달했을 것이다. 그런데 A, B의 가속도가 방향이 반대이고 크기가 a로 같으므로 가속도에 의한 성분도 +(1/2)at^2, -(1/2)at^2으로 크기가 같고 방향이 반대이다. 따라서 등속도 운동해서 도달하는 지점은 Q와 R의 중간인 4L 지점이다. 앞의 문제와 마찬가지로 PQ 거리가 3L로 A의 가속도에 의한 변위 성분과 3:1의 비를 만족한다. A와 동일한 운동을 하는 물체가 최고점에서 출발했다고 하면, t가 지나면 L 낙하하고, 또 t가 지나면 3L 낙하한다. 즉 A는 t가 지나면 최고점에 도달해 속력이 0이 된다. P에서 Q까지 t동안 이동하고, 최고점까지 t동안 이동하므로 Q에서 A의 속력은 v0/2이다. 2a3L=v0^2-(v0/2)^2에서 a=v0^2/8L이다.

16학년도 9평 2번풀이

[해설]

0초~5초 구간과 5초~10초 구간 두 개의 등가속도 운동이 있다. 전체를 놓고 보면 10초 동안 100m를 간 것이므로 전체 평균 속도는 10m/s가 되어야 한다. 각 구간에서 소요된 시간이 1:1로 같으므로 각 구간의 평균 속도의 평균이 곧 10m/s이다. 만족하는 속력은 15m/s로, 각 구간의 평균 속력이 7.5m/s, 12.5m/s로 맞춰진다.

22학년도 수능 16번

풀이

[해설]

B가 Q를 지날 때 속력을 V라 하면, P에서 B가 정지 상태에서 출발하므로 PQ 구간에서 평균 속력은 V/2이고, QR 구간에서는 등속도 운동이므로 속력은 V로 일정하다. 즉 P에서 R까지 V/2로 2t만큼 갔다면 V로 t만큼 간 것이다. 따라서 B의 전체 평균 속력은 V/2와 V의 1:2 내분점인 (2/3)V이다. 그런데 등속도 운동하는 A가 B와 R를 동시에 지나므로 (2/3)V=v이다. 따라서 PQ 구간에서 평균 속력은 3/4v이다. ㄴ 참

등속도 운동하는 A가 Q를 지날 때는 절반인 3/2t만큼이 지났을 때이므로 B는 아직 PQ 구간에 있다. Q에서 B의 속력이 3/2v이므로 3/2t 때 B의 속력은 (3/2)v*(3/4)=(9/8)v로 v보다 크다. ㄱ 참

A, B가 R, S를 동시에 지나므로 B의 RS 구간에서 평균 속력이 v와 같다. 즉 S에서 B의 속력은 0이 아니다. 이동 거리가 같고, 큰 쪽 속력이 같다면 나중 속력이 0이 아닌 쪽의 가속도가 더 작다. ㄷ 거짓

17학년도 수능 20번

풀이[해설]

t=0에서 t=T까지 알짜힘은 2mg이므로 가속도는 2g이다. 즉 t=T일 때 속력은 2gT이다. 이후 가속도가 -g이므로 t=3T일 때 최고점에 도달한다. t=0에서 t=T까지 평균 속력이 gT, t=T에서 t=3T까지 평균 속력도 gT이므로 두 구간 전체를 놓고 보면 평균 gT의 속력으로 3T만큼 이동한 것이다.

t=3T에서 t=4T까지 가속도는 -g이므로 t=4T일 때 속력은 gT이다. 이후 지면에 속력 0으로 도달한다. t=3T에서 t=4T까지 평균 속력이 gT/2, t=4T에서 지면까지 평균 속력이 gT/2이므로 두 구간 전체를 놓고 보면 평균 gT/2의 속력으로 이동한 것인데, 올라간 만큼의 거리가 곧 낙하한 거리이므로 시간은 2배가 걸린 것이다. 즉 기구는 t=9T일 때 지면에 도달하므로, t=4T에서 t=9T까지 가속도는 1/5g이다. 즉 알짜힘이 (1/5)mg이므로 F=(6/5)mg이다.