17수능 가형 30번과 비슷한 고2 학력평가 문제
2017학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 가형 30번 문제입니다.
이 문제를 풀어봅시다.
일단 문제 설명을 보면, g(t)를 이렇게 추론할 수 있습니다.
g(t)가 t=2에서 극대라고 했으니... 몫의 미분을 써야 할까요? 사실 그럴 필요까지는 없습니다.
g(t)는 곡선 y=f(x) 위의 두 점 (1, f(1)), (t, f(t))를 지나는 직선의 기울기이기 때문에, 그래프를 그려서 판단하면 됩니다.
g(2)=0이니 f(2)-f(1)=0, f(1)=f(2)입니다. 이때 함수 f(x)의 그래프가 그림과 같다고 생각할 수 있습니다.
직선 y=f(1)이 곡선 y=f(x)와 x=2에서 접해야 합니다. 그렇게 해야, 평균변화율이 음수였다가 0을 찍고, 다시 음수로 가게 되니까요. 함수 f(x)의 식을 이렇게 적을 수 있겠습니다.
(k>0이고, C는 상수)
함수 g(t)의 최솟값이 존재해야 한다고 하는데, 일단 함수 g(t)의 정의역은 t>1인 실수입니다. 만약에 t>1에서 t에 한없이 가까워진다면 g(t)의 값은 f'(1)과 같게 되는데, 함수 g(t)의 값이 f'(1)보다 크거나 같게 되는 t의 값이 존재해야 합니다.
예를 들어서, 위의 그림처럼 되면 조건을 만족할 수 없습니다.
위의 그림처럼 되는 경우, 함수 g(t)의 최솟값이 존재하면서, 이때 a의 값도 최소가 됩니다. 방정식 f(x)=f(1)의 모든 실근의 합은 a+3이니, a+3의 값을 구하면 됩니다.
점 (1, f(1))에서의 접선이 점 P에서도 접하는데, 점 P의 x좌표를 p라고 하겠습니다.
일단 점 (1, f(1))에서의 접선의 기울기를 구하면... (계산 생략!)
접선의 방정식을 구하면...
이 식과, f(x)를 연립했을 때 두 중근 1, p가 나오면 됩니다.
일단 x-1이 하나 있으니 날려 줍시다.
이 식이 x-1로 나누어떨어집니다.
거의 다 왔습니다.
이 완전제곱식이면 됩니다.
(a-1)(a-5)이고, a>2이므로 a=5입니다. 즉, 모든 실근의 합은 1+2+5=8입니다.
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문제가 정말 닮았네요
저 그림일때 a가 최소가 되는 이유가 무엇인가요?
a가 5보다 작아지면 x=1에서의 접선이 그 곡선의 접점만을 지나게 되고, 함수 g(t)의 t>1에서의 최솟값이 존재하지 않게 되기 때문입니다.