수능 수학, 개념 응용과 문제풀이의 공부 방법 - 1 -
안녕하세요 레바입니다.
이 문제는 작년 수능 문제인데요, 이 문제를 푸는 방식을 통해
행렬 ㄱㄴㄷ 문제를 어떻게 공부해야 하는지 대략적인 설명을 해 보도록 하겠습니다.
이와 같은 행렬 문제를 보면, 우선 조건을 다 나열해보세요.
1. A2-AB=3E
2. A2B-B2A=A+B
이 두 개가 조건입니다.
우선 ㄱ 선지를 보겠습니다. A의 역행렬의 존재성을 묻는데, 이거는 1번 조건으로
쉽게 해결이 가능합니다. A의 역행렬은 (1/3)(A-B)가 되죠.
그러므로, [1번 조건을 사용]한게 되며, 2번 조건은 아직 사용하지 않았고,
ㄱ을 통해 새로운 세 번째 조건을 얻었습니다.
3. A-1=(1/3)(A-B)
이 조건을 말이죠. 이제 ㄴ 선지를 보도록 하겠습니다. AB=BA인데요, 이는 1번 조건과 3번 조건을 통해
쉽게 해결할 수 있습니다. 행렬과 역행렬 사이에는 곱셈의 교환법칙이 성립하죠.
그렇기 때문에 A(A-B)=(A-B)A가 성립하며, 이로부터 AB=BA를 이끌어낼 수 있습니다.
이제 새로운 조건을 또 하나 얻었네요.
4. AB=BA
이제 ㄷ 선지가 남았고, 아직 사용하지 않은 조건은 2번 조건과 4번 조건입니다.
여기서 문제풀이의 방향을 잡는 것이 중요한데,
'가장 이상적인 것'은 그냥 선지를 보고 이건 참이겠다, 이건 거짓이겠다 감을 잡고
그대로 풀어나가는 것입니다. 하지만 그렇게 이상적으로 되지 않기 때문에 훈련을 하는 것이죠.
그러므로, 저렇게 (A+2B)2=24E이다. 와 같이 무언가 식 변형을 통해 이것을 이끌어낼 수 있다!
하는 오오라를 풍기는 녀석을 만나면, 우선 식 변형을 통해 참임을 증명하겠다! 와 같은 접근을 먼저 해보는 것이 좋다고 생각합니다.
아까 위에서 설명드렸을 때,
증명 방법에는 식 변형을 통해 명제를 이끌어낸다, 반례를 든다, 귀류법을 사용하여 모순임을 보인다, 식 변형을 통해 명제와 다른 결론을 이끌어낸다. 이렇게 있다고 했는데,
위의 ㄷ 선지는 반례를 들기는 좀 애매하고.. (저 조건을 다 만족시키는 행렬 찾다가 시간 다 갈겁니다.)
귀류법을 사용하기에도 애매합니다.
결국은 식 변형을 통해 (A+2B)2 가 어떤 값으로 나오는지 알아내야 한다는 것입니다.
우선 A+2B와 관련된 식을 이끌어내야 하는데..
아직 2번 조건을 사용하지 않았죠? 그러므로 일단 2번 조건을 건드려봐야겠다!
라는 생각을 해야 합니다.
뭔가 인수분해가 가능한 꼴로 생겼는데,
새로 알게 된 4번 조건, AB=BA라는 것으로 인해
2번째 조건은 다음과 같이 변형이 가능합니다.
AB(A-B)=A+B
음.. 그런데 여기서 어떻게 ㄷ 선지를 이끌어내지? 하고 고민이 되는데,
이게 잘 안되면 다른 조건들을 살펴봅시다.
1번 조건과 3번, 4번 조건이 있는데, 여기서 4번 조건으로는 뭔가 할 수 없을 것 같고..
1번 조건에서 식을 잘 변형하면 A(A-B)=(A-B)A=3E!! 오호! 뭔가 아까 변형시킨
AB(A-B)=A+B의 양 변에 A를 곱하고 싶어집니다!
그래서 A를 곱하면,
3AB=(A+B)A가 되고, 이는 3AB=A2+AB (4번 조건 AB=BA 활용)
A2=2AB가 된다는 사실을 알아야 합니다.
이제 여기서 새로운 것을 이끌어내고 싶은데..
1번 조건 변형식을 보면 A(A-B)=3E,
2번 조건 변형식을 보면 AB(A-B)=A+B이죠.
어? 1번 조건에서 양 변에 B를 곱하면 뭔가 있을 것 같다! 라는 느낌을 얻어야 합니다.
(이런 느낌이 얻어지는게 쉬운 일이 아닙니다. 하지만, 이것을 많은 노력을 통해 해내야 합니다.
이 과정은 누가 특별한 약을 줘서 한 번에 해결되는 것이 아니라,
많은 시간을 투자해야 하는 부분이므로 그냥 칼럼이나 공부법 책같은거만 읽고
적은 노력만으로 가능한 해법을 찾으려 하지 마세요.
그냥 묵묵히 노력하는게 답입니다.)
그렇게 변형을 하면, 4번 조건 AB=BA라는 점에 의해
1번 식은 AB(A-B)=3B로 되고, 이것을 통해 3B=A+B,
A=2B를 얻어낼 수 있습니다!
그러면, ㄷ의 (A+2B)2 는 사실 (2A)2 였던 것입니다.
결국 4A2 가 몇인지만 알아내면 되는 문제로 변했습니다.
그런데, 아까 얻은 것중에 A2=2AB가 있었죠?
이를 1번 조건에 대입해보면, AB=3E가 나오게 되고,
4A2=8AB=24E라는 결론이 나오게 됩니다.
따라서, ㄷ 선지도 참임을 알게 되는 것이죠.
뭐.. 뒷북 수학이나 다름없는 풀이를 보여드렸는데,
요지는 행렬 ㄱㄴㄷ 문제를 풀며 공부를 할 때,
위와 같은 생각을 하면서 체계적으로 접근하는 공부를 해야 한다는 것입니다.
물론, 이것보다 본인에게 더 잘 맞는 공부법이 있을 수도 있고,
행렬 합답형 문제정도는 이미 마스터해버려서 이런 공부법이 필요 없을 수도 있습니다.
그러므로, 이 글은 그냥 참고용으로만 봐주셨으면 하는 바람입니다.
요약
1. 문제에 주어진 조건들을 다 체크한다.
2. ㄱ, ㄴ, ㄷ 순서대로 문제를 해결한다.
3. 문제가 잘 풀리지 않으면, 사용하지 않은 조건들이 있는지 체크한다.
4. 특히 ㄷ 선지의 경우, 식 변형을 통해 접근할 것인지,
귀류법을 활용할 것인지, 반례를 찾기 위한 시도를 할 것인지 잘 선택해야 한다.
(이런 감을 잡는 것은 말로 해결되는 것이 아니라, 수많은 노력을 통해서만 가능하다.)
5. 수식 변형을 자유자재로 할 수 있도록 연습을 해야 한다.
이렇게 되겠습니다. 그러면 이만 글 마치도록 하겠습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
화력 테스트
-
왜케 머리아프지 1
끄사아아악
-
네 날밤샐거
-
2024.10.15(화) 실시된2024학년도 10월 고2 모의고사 수학영역...
-
인생의 멘토인 분이라 콘서트 꼭 가고싶은데 온라인 수강생이라 실패했네요.. 티켓...
-
으휴..봉사는 건실한 마음으로 해라
-
오죽하면 내가 지금 일어나서 오르비에 글을 쓸까 잠도 다 깼어
-
야매합 떴던데 붙으셨는지 붙으셨으면 같이 면접까지 부숴봅시다!
-
꽤 어렵네요
-
공부 끝내고 집 돌아와서 침대에 누웠는데 바로 옆 벽에 모기가 달라 붙어 있는...
-
봉사추천 0
요양원
-
그게 나야 바 둠바 두비두밥~ ^^
-
아 자고싶다 1
허리 끊어지겠네 ㅜㅜ
-
밤새야겠다 1
기분 꿀꿀하다
-
강윤구 수강기간 1
내년 수능 치는 07년생입니다. 지금부터 강윤구 쌤 4공법 스타터 시작하려고...
-
도서관 봉사
-
꼬소한 방어
-
9평 87 10평 90인데 1회 78 2회 80 3회 82 4회 80 5회 85나옴...
-
수능끝나고할거 0
추천좀
-
공군컷 97이상본다 23
말안되네
-
왠지 그 녀석도 왔을까? 여기 저기 둘러보아도 성적 주작 하는 소리만 저기 김동원...
-
서울교대 0
계속 하락중인데 2030년쯤에는 어디라인정도에 안착하게될까요
-
잠이 안 옴 30분은 걍 누워만 있었는데 ㅅㅂ 왜 잠이 안 오냐
-
밥먹으러가야지 8
흐
-
헌혈 장점 24
지역구에 따라 다른데 일정 기준치만큼 헌혈하면 신청한 사람에 한해 표창장 같은 걸...
-
현실도피중ㅋㅋ 1
시간아멈춰라
-
꿈에 200상자 배달되어있을듯
-
건강한 감정 교류를 하길… 사랑이든 우정이든 괜한 욕심 때문에 마음 다쳐가며 관계를...
-
다들 잘자요 1
자고 일어나면 주식이 올라있길
-
모밴인가
-
퇴근완료 캬캬 1
책 정리좀하다가 자야지
-
심야공부 2
할사람 소온!
-
한국 전래동화 영어로 번역하기 이걸로 봉사활동 시간 다 채움 ㄹㅇ goat
-
중고대 포함 200시간 이상 한 듯 헌혈, 청소, 행사 안내, 교육 봉사 등등 많이...
-
라고 했는데 암것도 없으면 뭔가뭔가에요
-
노베 재수 0
현역 고3인데 올해 6월에 공부 시작하고 9모 언매 미적 사문 세지44344인데...
-
치킨먹고싶다 1
내일먹어야지
-
모기쉑... 아직도 돌아다니다니...
-
제 기준 초6 첫사랑이랑 중2때 짝사랑 때 느껴봤는데 뭔가 연락할 때마다 엄청...
-
풀고 강의듣는거죠??
-
.
-
그림 어떻게 그리는지 알려주실 수 있나요? 그래프라던지 도형이라던지
-
성인되면 남자 만나고 싶은 욕구 누구나 있는 거 아님?
-
3 아래는 기출풀면서 단어 외우는게 실모보다 좋겠죠?
-
ㅇ
-
. 1
-
수능 끝나고 시험지 보고 후다닥 복기해보면 실제 성적표랑 어느정도의 일치율을 보였나요? 궁금해요
-
내년에 분당에서 대치 현강vs 시대 라이브 추천 좀 1
내년에 시대 단과 듣고 싶은데 분당에서 대치가서 현강 들을까 아니면 라이브로 할까?
-
반수생취침 0
이대로면 우울글만 계속 싸지를거 같아서 자러갑니다 행복한 꿈만 꾸고 오겠습니다
-
마침집이랑가까워서 개꿀하면서 갔는데 그날 광화문역 태극기집회였음 하.....
감사합니다~
긴글 잘 읽었습니다.
읽다보니 저도 수학 공부가 불끈 하고싶어지네요..^^::
미친척하고 수능 다시 한번 봐보으리? ㅎㅎ
오르비에서 레바님과 같이 노닥>거리고 싶은 레알 노땅 ㅠㅠ(접니다.)
감사합니다 추천하고갑니다