[수학칼럼] 기출의 일관된 흐름 (1)
(요새 이유식 먹는데, 밥먹기전 기대감에 신난 얼굴들입니다 ㅋㅋ)
안녕하세요? 오르비에서 수학영역을 강의하고 있는 박주혁t입니다^^
또.. 오랫만에 글을 쓰네요 ㅠ.ㅜ 글을 쓰려고 생각은 많이 하는데, 시간은 많이 안 나는군요ㅠ.ㅜ
참, 지난주 주말에 수비 B형 촬영은 완강했습니다.
이제 편집만이 남았고, 중간에 파일이 하나 사라진줄 알고 좌절했었으나ㅋ
다시 찾아내어 정상적으로 편집이 진행중인 걸로 알고 있습니다^^
빠른 시간안에 업로드 되면 이제 진정한 완강이네요! ^^
(드디어 공도벡 파트도 업로드 시작되었네요~^^)
여튼, 이래저래 정신없고 집에오면 기절하고 그래서 글을 못 올렸습니다ㅠ.ㅜ
며칠전에 난만한님이 정답에 매우 근접한 공부법을 올리셨고~
저는 그것이 만점을 받기위한 거의 100%에 가까운 공부법이라고 봅니다^^
(100% 완벽한 공부법은 저도 몰라요ㅋ 그걸 아는 사람이 있을까요?^^)
저는 오늘은, 좀 가벼운 이야기로 갑니다~ ^^
-----------------------------------------------------------------------------기출문제가 하나의 흐름을 가지고 있다는 이야기를 하려고 합니다.수정하겠습니다. 오해의 소지가 있는것 같아서.
기출문제 중에서는 어떤 '흐름'을 가지고 있는 것이 있습니다.
경향성이라고 말할 수도 있고, 한 가지 소재에 대한 집중탐구 처럼 보일 수도 있습니다.
그러나, 기출을 반복해서 공부한 사람이라면 반드시 느낄 수 있는, 어떤 흐름은 반드시 있습니다.
다들 기출문제가 중요하다는 사실은 잘 알고 있잖아요? ㅋ
그리고 기출문제의 '경험치'가 실전에서 엄~청 중요하다는것도.
그렇다고 어려운 이야기는 아닙니다.
여기에 나오는 문제들은 모두 다 쉬운 문제들이니까, 부담없이 읽어 주시면 됩니다.
자, 시작해 보지요~
---------------------------------------------------------------------------------------------------
그리고,
제가 여기서 말하고 싶은 것은 기출문제 중에서는 재출제되는 것들이 있다.
기출이 중요한 이유가 거기에 있으며, 기출문제에 대한 경험을 통해 얻어가는 것이 있어야 한다.
이러한 점을 읽는 분들이 깨닫는데 이 칼럼이 조금의 도움이 되었으면 하는 바램으로 쓰는 것입니다.
제목도 '기출의 일관된 흐름' 입니다.
'기출문제 풀이의 일관된 흐름'이 아닙니다.
그리고 사람들이 기출문제를 여러번 반복하는 이유가 여기에 있다.
문제간의 유사성을 느낄 수 밖에 없으며, 그러한 사람들이 대부분 고득점자가 된다.
읽는 분들도 너무 기계적으로만 기출을 바라보지 말고, 문제들 사이의 연관성을 공부하면서
느껴보자.
이정도의 의도가 이 칼럼을 쓰는 목적입니다^^
----------------------------------------------------------------------------------------------------
자 1점짜리(...) 문제입니다 ㅋ
(풀어봅시다~ 암산도 되네요^^)
답은? 쉽네요~ 7C3 – 4C3 = 31 이군요!
그럼 이번엔 이 문제를 볼까요? 
4점이긴 하지만, 어렵지는 않네요. 얼른 풀어보세요~
총 3과목을 선택합니다.
I과목에서 3개를 선택할 수도 있네요. 4 C 3 = 4
I과목 2개, II과목 1개를 선택할 수도 있네요. 4 C 2 ✕ 4 C 1 = 24
I과목 1개, II과목 2개를 선택할 수도 있네요. 4 C 1 ✕ 4 C 2 = 24
이것 뿐이군요! 그러니까 총 4+24+24 = 52개가 정답!! 어렵지 않지요?
전형적인 평가원 스타일의 분할해서 푸는 문제입니다.
(작년 중복조합 문제랑도 사고체계가 비슷하네요^^)
그런데요. 이 문제는 이렇게도 바라 볼 수 있습니다.
자, 아까 [1995수능문제]와의 유사성이 보이세요? ^^
(II과목만 3개를 고르면 안되니까 삼각형이 안 만들어 지는군요 ㅋ)
답은 8 C 3 – 4 C 3 = 56 - 4 = 52입니다.
이것은 매우 단적인 예 이지요 ㅋ
(그리고 실전에선 생각하기 어렵기도 합니다)
이번엔 좀 실전적인 이야기를 해 볼께요.
그리고, 평가원이 매우 오랜 기간동안 집착(?)하고 있는 하나의 테마에 대한 이야기 이기도 합니다.
2007학년도 부터, 평가원에서는 이유는 잘 모르지만, ‘자리에 사람을 앉히는’ 문제에 매우 집착합니다.
한 번 볼까요?
이 문제는 꽤 유명한 경우의 수 문제입니다.
올해 시험범위라면, 확률 문제로도 충분히 나올 수 있는 요소가 있네요.
(풀어보세요^^)
다음해설은 당시의 EBS해설 입니다.
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
어때요? 4점이라 할 만 한가요?
그런데 이 문제는 이렇게도 생각 해 볼 수 있습니다.
저 EBS풀이는 너무 틀에 박혀 있어요.
사람들은 모두 다 다른 사람들이고, 자리도 모두 다 다른 자리입니다.
행과 열로 나눌 수도 있지만,
모두 다른 10개의 좌석으로 볼 수도 있습니다.
그러면,
남학생 2명을 유재석,박명수라 하고,
여학생 2명을 김태희,전지현 이라고 해 보겠습니다. (제 마음대로 붙였습니다. 죄송ㅋ)
먼저 유재석씨를 앉힙니다.
모두 다른 자리이므로 10가지 경우네요.
그리고 박명수씨를 앉혀봅니다. 당연히 유재석씨 옆에는 못앉죠.
그러니까 남은 8자리 중에서 앉을 수 밖에 없어요.
그리고 이제 여성분들 차례네요.
네, 무조건 남자들과 짝을 이루어야 하기에, 그녀들은 체크한 자리 밖에 못 앉네요.
그래서 2가지 경우만 나옵니다. (아래그림참조)
그래서 사실 간단한 계산이네요.
유재석 10 x 박명수 8 x 여성분들 2 = 160 입니다.
어떠신가요? 사람은 모두 다른사람이고, 자리도 모두 다른 자리이다. 를 이용하면 많이 간단해 집니다.
이번엔 이 문제입니다.
아예 그해 수능엔 보트에 앉히는 군요! ㅋㅋ
이 문제도 마찬가지 이네요. 어른에게 이름을 붙이겠습니다.
이번엔 박명수, 정형돈으로 할까요? 그리고 아이들은 (1),(2),(3) 이라고 하겠습니다^^
그리고 자리는.. 앞줄과 뒷줄이 구별되는군요!
명수씨가 2자리중 하나, 형돈씨가 3자리중 하나에 앉으면 되네요.
참, 명수씨가 자리 바꾸자고 하면 그것도 생각해야 하는군요! (2x3x2)
그리고 아이들 (1),(2),(3)이 남은자리에 대충 앉으면...
문제 조건을 만족하네요? ㅋ 그래서 아이들 경우의 수는 3! 입니다.
점점 간단해 지는데요?
2 x 3 x 2 x 3! = 72가지가답이네요.
평가원의 '사람을 자리에 앉히기'는 이제 시작입니다.
오, 우리의 방법이 틀리지 않았다는걸 평가원이 보여주네요!
왜냐하면 그전에 남자 둘, 여자 둘 이랬던 표현이
할아버지,할머니...... 각각의 사람들을 일일이 다르게 표현하고 있잖아요^^
자 이 문제도 스윽 볼까요?(풀고나서 읽으세요^^)
조건이 붙은건 운전석과 가운데 줄이네요.
운전석은 아빠 or 엄마 (2가지)
가운데 줄은 영희랑 철수니까,
영희보고 먼저 앉으라 하고 철수가 나중에 앉으면 3 x 2 임이 바로 나옵니다.
즉, 운전석 2 x 가운데 줄 (3x2) x 아직 안 앉은 나머지 3명은 아무데나 3! 이군요.
답은 2 x 6 x 6 = 72 이네요.
그런데, 2008학년도에는 더이상 나오지 않아서, 이제는 그만 하려나? 했는데....
2009학년도 9월 평가원에 또 나오네요.
흐음. 이제는 우리도 꽤 단련되었으므로, 쉽게 갑니다!
할아버지,할머니가 같이 앉고, 아버지,어머니가 같이 앉는다고 했으므로,
같이 앉는 경우는 총 4자리가 있네요 (그림참조)
할아버지-할머니 커플이 4자리 중 하나를 앉으시면,
아버지-어머니 커플은 남은 2자리 중 하나를 앉아야 하네요. (한줄에 4명은 못 앉으므로 ㅋ)
그리고 커플끼리 자리 바꿀 수 있지요?
그래서 경우의 수는 4 x 2 x 자리바꿈( 2 x 2 ) 이고,
왠지 따라가는 듯한 아들과 딸은 나머지 자리에 대충 앉으면 되니까 2! 이네요.
즉, 4 x 2 x (2 x 2) x 2 = 64 가 답입니다.
자, 그리고 나서 교육과정이 좀 개편되고...
이런식의 경우의 수 문제들은 고1로 내려갑니다.
그래서 안나오려나? 했는데....ㅋㅋ
역시, -_-b
평가원은 호락호락 포기하지 않는군요! ^^
이것도 모든 자리가 다른자리라는 그동안의 경향을 자리에 아예 넘버를 붙여서 표현해 주고 있네요ㅋ
확률이니까, 수학적 확률로 가 보면, 전체 경우의 수는 6! = 720 이니까,
결국은 그동안 나왔던 경우의 수만 잘 생각하면 끝이네요.
좌석 번호의 차가 1 or 10 이라는 말은, 옆으로 앉던가 앞뒤로 앉던가, 하라는 이야기 네요? 같은 나라끼리?
에-이, 뭐에요, 3가지 밖에 없네요! (그림참조)
나라를 골라주고 (3 !) x (자리에 앉아서 서로 자리바꾸는 걸 계산하면) 2x2x2 x (총 3가지 경우)
가 나오니까,
3 ! x (2 x 2 x2 ) x 3 = 6 x 8 x 3 = 144 가지네요.
답은 144/720 = 1/5 이네요~^^
자, 확률에서도 여전히 평가원은 '사람을 자리에 앉히는 문제' 를 내고 있습니다ㅋ
그리고, 결국은 작년에도...
음, 이젠 2년에 한번씩 (2009 - 2011 - 2013 ) 나오려나요? ㅋㅋ
여튼, 또 나왔네요^^
(안풀어 보신 분들은 꼭 풀어보시고 읽으시길! ^^)
이과분들! 헷갈리시면 안됩니다ㅋㅋ 이거 원순열 아니에요! ^^
이 문제는 '적어도 2명' 이란 표현까지 들어 있으므로, '여사건'을 이용하면 생각보다 쉽게 풀립니다ㅋ
전체 - (모두 이웃하지 않을 확률) 을 빼면 되는군요! 
그림처럼 앉히면 되네요^^
그럼 금방 되지요? 모두 다른자리 이니까, 색깔따라 남자 / 여자가 구분해서 앉으면 되는군요~
역시 일관된 흐름이 느껴지네요^^
그래서
가 답이네요~
기출문제가 중요하다는 건 조금은 눈치 채셨을거라고 생각합니다~
오늘 칼럼은 좀 쉬웠어요 그죠?
다음 글에서는 일관된 흐름(2) 로 넘어갑니다~^^
(아무래도 주중엔 시간이 없어서 내일 하나 더 쓸 생각입니다ㅋ)
박주혁t 자기소개 : http://orbi.kr/0003633088
박주혁t 인강(수학영역의 비밀) : http://class.orbi.kr/group/2/
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아 선생님 최근에 확률을 배우는데 하나가 헷갈리네요ㅠㅠ
여자가 2명이라고 하면 여자 1,2로 구분해서 그 둘이 자리바꿔야 하는 것 까지 하는 게 왜죠?? ㅠㅠ
이해가 살짝 안되네요.
다른 사람이고 다른 자리이니까,
2가지 경우가 나오기 때문입니다^^
그렇군요 흔히 하는 10명중 대표 2명 뽑는 케이스랑 헛갈린듯
한데 그건 순서를 무시한 경우 군요.
아 아닌가? 결국 일렬로 놓으면 순서가 있다는 건데
그게 아니라 문제에 상황을 만들어 놓으므로써
순서를 구준하라는 조건을 준건가....요??
단순히 '뽑는' 것과 '뽑아서 배열' 하는것은 다른 경우입니다^^
아 그렇군요! 딱 두 마디 말로 고민을 유도해서
깨달음을 주시네요. 감사합니다 ㅋㅋ
감사합니다~ 도움이 되셨다니 좋네요~^^
헐!!!!!!!! 진짜 뱅뱅 도나보네요
ㅋㅋ 네~ 나왔던게 또 나오고 그래요^^
결국 같은 정도로 기대되어지게 서로 각각 다른 사람이라고 인정하자는 ... 칼럼 아닌가요?
음... 그건 맞는 말이고요^^
나온게 또 나온다~는게 주제입니다~ㅋ
그런데 이런걸 공부하는 수험생입장에서는 발견하기 어려워요ㅠㅠ
수험생입장에서는 굳이~ 발견하려 노력하실 필요는 없지만,
기출을 반복해서 공부하시다 보면 자연스레 느껴지는 게
있지 않으신지? 이번에 그러한 것을 정리한 것일 뿐이고요~^^
문과 2등급 학생입니다.최신기출 4 점짜리 풀 때요ㅜㅜ아무리 생각해도 풀이를 잘 모를 때 답안지보고 풀이를 보는데.
회의감이 듭니다ㅜㅜ제가 새로운 킬러 문제 접할 때는 안목이 있어야 하는데 최신 4점자리 중 정답률이 낮은 거는 손도 못 대는 경우도 있고..답안지 보고도 삼십분 정도 생각하는게 다반사인데ㅜㅜ그냥 성장통인가요? 당최 안목이 안 길러지는 것같아요.
특히 지수로그 그래프 문제요..ㅜㅜ
기출이 체화되어 있지 않아서 불안합니다...
수학과목이란게 실력이 쑥쑥 오르면 좋으련만, 그렇지 못한 경우가 대부분이죠.
그래서 보조 도구로 인강이라던가, 학원이라던가, 과외 같은 것이 있는 것이지요.
혼자 할 수 있는데까지 해 보고, 정 힘들면 약간의 도움을 받는것도 좋은방법입니다~
애기들 귀엽네요 ㅋㅋ 잘 읽고 갑니다~~!
감사합니다 ㅠ.ㅜ
진짜 확률 공부는 어떻게 해야하는건가요 ㅠㅠ? 작년 문과 1등급이고 30번까지 맞췄는데.. ㅠㅠ 29번 그 확률문제 틀렸어요 ㅠㅠ 원래 수학적 확률 문제 나오면 어쩔수없이 대충 식 비벼서 찍자 라고 마음먹고 시험장 들어갔는데 주관식 ㅠㅠㅠㅠㅠ 고등수학 하의 순열과조합 부분도 좀 깊이있게 해야되는건가요..?
어디서 부터 시작해야 할지 조언 좀 부탁 드립니다 ㅠㅠ
고1 경우의 수부터 차근차근 단계를 밟아서 공부하시기를 권합니다^^
칼럼감사합니다!!!
제가확률이너무약해서ㅠㅠㅠㅠ 문제를보면 나누고 구분하기는 하는데 순열이나 조합같은??어떤공식을써야할지 너무막막해서요ㅠㅠㅠㅠ 이런경우에는 뭐가 부족한건가요????ㅠㅠ
참!!그리고애기들 너무귀여워요!!ㅋㅋㅋ
고1 경우의 수부터 차근차근 단계를 밟아서 공부하시기를 권합니다^^
아기들은.. 감사합니다^^
확률.. 내신하고 오랜만에 보니 감이 잘안와서 애먹엇네요 ㅠㅠ
그래도 이렇게 기출의 중요성을 보여주시니...
수비를 얼른 파야겠다는 생각이 ㅋㅋㅋㅋㅋ
잘보고갑니다~! 수비 인강들으러가요 ㅎㅎ
기출을 기계적으로 반복하는것이 아니라,
문제사이의 연관성을 느끼며 반복하는 것이 상당히 중요합니다^^
화이팅하세요! ^^
선생님께서 이 칼럼을 통해서 하고싶으신 이야기가
비슷한 유형의 기출문제들에는 일관된 풀이방식이 존재하고
공부할때는 그것을 찾는 공부를하라 이것인가요?
그런데 제가 푸는 풀이가 평가원이 요구하는 일관된 방식이라는것을 어떻게 확신할까요
공부하는 입장에서는 쉬운과정이 아니겠군요
아뇨,그게 아닙니다.
제가 여기서 말하고 싶은 것은 기출문제 중에서는 재출제되는
것들이 있다. 기출이 중요한 이유가 거기에 있으며,
기출문제에 대한 경험을 통해 얻어가는 것이 있어야 한다.
이 정도입니다.
제목도 '기출의 일관된 흐름' 입니다.
'기출문제 풀이의 일관된 흐름'이 아닙니다.
그리고 사람들이 기출문제를 여러번 반복하는 이유가
여기에 있다. 문제간의 유사성을 느낄 필요가 있기 때문이다.
는 것도 말하고 싶었습니다.
저렇게 생각할수있는수험생은 상위1프로도 안된다는게 함정..
좋은의도이긴하나 수능은 진화속도가 너무빨라요
마치 인간과 바이러스의 대결이라고나 할까 ㅜㅜ
지금 말씀하시는게 초반에 나오는 선택과목 선정하는 문제라면,
그 문제는 그냥 평범하게 푸는것이 더 낫습니다.
(제가 생각하기 어려운 거라고 쓰기도 했고요ㅋ)
재출제가 된다는 하나의 예일 뿐이에요ㅋ
이번 칼럼도 너무 잘 읽고 갑니다~ 항상 좋은 칼럼 감사해요^_^
함께 올리시는 아가들 사진도 너무 예뻐요ㅠㅠ 매 칼럼마다 쪼끔씩 쪼끔씩 커가는 모습이 보이네요ㅎㅎㅎ귀여운 녀석들
감사합니다~^^
애들이 진짜 부쩍부쩍 크네요ㅋㅋ
2008 육평문제요..
왜마지막에 세명이남는지잘모르겠어요.ㅠ
엄마아빠앉히고 ×2
할머니할아버지 중간에앉을분 ×2
그리고 중간줄 3!
이게아닌가요..ㅠ 어디가잘못됫는지말씀해주세요..
총 6명이고요,
운전석에 엄마or아빠 중 한명이 앉고요. (2가지)
중간줄에 영희and철수가 앉습니다.(3×2)
여기까지 총 3명이 앉았습니다.
남은 사람 3명에 남은자리 3자리 이므로 3!입니다.
즉, 2×3×2×3!=12×6=72 입니다~
잘 읽었습니다~ 저렇게 해서 하나의 '패턴'이 형성되고
패턴의 해결법을 추상적으로 정리해놓은 책이 '수비' 인가요??
그리고 옛날 기출이 나중에 수능에서 하나의 '요소'로서 들어와있더군요..
그리고 '패턴'은 동일한데 '다른풀이가' 점점 생기는 것 같아요..
저기서도 1/5가 답인문제는 확률의 곱셈정리로도 풀수 있고..
여튼 평가원은 대단하신 분들만 모이신듯..
평가원 문제 풀다보면 정말 박수치고 싶을때가 있어요ㅋㅋ
마지막 문제 작년에 여사건인 거 적어놓고 2써서 틀렸는데 생각나네요
ㅠㅜ 다음 칼럼 주제가 여사건 인데요ㅠ
아쉽네요ㅠ
애기들이 1등급이네요
감사합니다~ 잘커야 할텐데요^^
쪽지 드렸습니다. 꼭 봐주세요 ㅠ
쪽지 하나 드렸습니다 봐주세요~
죄송합니다.ㅠㅠ 마지막질문 쪽지 드렸으니 봐주세요 ㅠㅠ
샘 양지파이팅 ><