수능에서중요하지않은것, 두번째 [이유있는수리]
아마 많은 분들이 힘들어하시는 과목이 아닐까 생각이 됩니다
언어가 '이해'라면 수리는 '이유' 또는 '생각'이라고 생각해요
왜 그런지에 대해서 차근차근 설명하도록 할게요~
이과목은 그래도 언어보다 자신있었으니 글도 자신있게 쓸수 있을것같아요ㅋㅋ
수리에는 많은 분들이 알고 있듯이 개념과 유형이 있습니다
많은 분들이 알고 계시니 이 표현을 따르도록 하겠습니다
①개념
수리는 개념이 중요하다고 많이 들어보셨을 거예요
그런데 개념이 정말 '개념'만 말하는 것이 아니에요~
원의 정의로 예를 들어보겠습니다
원의 정의는 '평면위에 한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합'입니다
수업시간에 이 원의 정의를 배웠다고 해봅시다, 즉 원에 대한 개념을 배웠다고 해봅시다
그렇다면 원에 대한 문제를 잘 풀 수있을까요?!
실제로 수능기출에서 원은 많이 쓰이고 있지만, 원이 쓰인 역대 고난이도 문제들도 많지요
정말 학생들이 원이 무엇인지, 원의 정의가 무엇인지 몰라서 틀렸을까요?
이러한 개념은 인강이나 학교, 학원수업으로 할 수 있고
'누구나' 얻을 수 있는 것입니다 누구나 인강을 듣기 때문이지요
그럼 무엇이 수리를 잘하는 학생과 그렇지 않은 학생과의 차이를 만들어 낼까요?
제가 강조하고 싶은 부분은 바로
②유형입니다
예를들어, 어떤 삼각형이 있고 그안에 점P가 있다고 해봅시다
삼각형의 각 꼭지점과 점P를 이은 선분들의 길이가 서로 같다고 해봅시다
이런 문제를 맞닥뜨렸을 때, 우리가 떠올려야할것은 바로 원입니다(왜 원을 떠올려야하는지 위의 정의로부터 추론가능하지요~)
수리문제는 이런식입니다 문제, 즉 유형을 보고 거꾸로 어떤 개념이 떠올라야합니다
이 문제를 딱 만나고 '아, 선분의 길이가 같네? 어라, 원이 이러한 특징을 가지는데? 그렇다면 점P는 원의 중심?'이라는 걸 떠올려야
원의 정의에 대한 개념이 완성된 것입니다
예를더 들어보겠습니다
어떤 문제가 개념B를 응용하여 구성되었다고 해봅시다
이문제를 만나서 '아, 혹시 개념A가 아닐까?'하는 순간 본인은 개념A를 알고 있고, 어느 문제가 나와도 사용할수 있음을 의미합니다
물론 이문제는 못풀겠지요
그렇다면 계속 생각할 것입니다 '이문제를 어떻게 풀까? 우리가 아는 어떤 개념을 이용해서 문제가 만들어졌을까?'
하고 생각하다 보면 언젠가는 개념B가 떠오를 것입니다
왜냐하면 우리가 개념강의 들을때, 한번 봐놓은 상태이고 개념서를 복습하다가 개념B를 만나면
'어라 ,혹시 이개념B를 가지고 내가 못풀었던 문제를 풀 수 있지않을까?'
하고 문제에 접근하여 풀게 되는 것입니다
비록 이문제를 푸는 데 시간이 많이 걸렸지만, 문제를 자꾸풀면풀수록 자주 개념 B와 만나게 되고
개념B는 단단해 지는 것이지요
수리를 공부할때는 답지를 보지 말아라/라는 말도 역시 여기에 기인합니다
왜냐하면, 문제를 보고 직접! 스스로! 개념A을 떠올려야 새롭고 어려운 문제가 만나도 개념A가 떠오르기 때문입니다
이렇게 되면 가끔 해설지에 나와있는 해설중에
'아니, 어떻게 이런 접근방법을 생각해내지?'라는 질문이 해결이됩니다
제가 중학교 때, 도형에 그렇게 취약했습니다
아니 나와있지도 않은 보조선을 어떻게 생각해내어서 그리지?말이되? 억지야
답을 아니까 보조선을 그릴수있지! 라고 생각했었습니다
하지만,
문제가 요구하는 개념을 꼴똘히 생각한후에 파악하게 되면
아! 풀이가 이쪽으로 흘러갈수 밖에없겠구나, 보조선을 그릴수 밖에 없겠구나/라는 생각이 들게됩니다
예를 들어, 문제에서 원과 직선이 나왔다고 해봅시다
직선이 원의 지름을 지나지않고, 원과 두점을 만나는 그림이 주어졌다고 해봅시다
그렇다면 우리는 직선과 원이 만나는 점과 원의 중심을 잇는 보조선을 생각해낼줄 알아야하고 그려넣을 줄 알아야합니다
왜냐하면, 원에서 제일 중요한건 원의 중심이니까요(정의에서 알수 있듯이)
원을 주었다는 것은 그만큼 출제자가 원의 중심, 즉 원의정의를 물어보고 싶다는 것이고
우리는 그것을 이용할줄 알아야하지요
따라서 이 문제를 풀다가 보조선을 못그려 막히면
'혹시 원의 중심과 연결하면 무슨 풀이가 나오지않을까?'하며 풀이를 생각해낼수있는 것입니다
'어떻게 없는 보조선을 생각해내지?'가 아니라
'이런 보조선을 생각해볼수 밖에 없겠구나'가 되는 것입니다
또한 많은분들이 수리는 문제를 많이 풀어야한다/라고도 하십니다
역시 여기에 기인합니다
왜냐하면, 문제를 많이 만날수록 이렇게 꼬운 문제, 저렇게 꼬운문제를 독파해나갈 힘이 생기며
개념들이 자꾸 단단해 지기 때문입니다
또한 이런유형E 저런유형F다뤄보면서 다른 유형을 깨부술수있는 무기E,F를 가지고 있는 셈입니다
역시 예를들어볼까요
대칭방정식?이라고 x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 5x + 1 =0처럼 계수가 좌우대칭인 방정식이 있습니다
이문제는 x^2를 양변에 나누어 풉니다
이풀이는 수능문제에서 한번도 쓰이지않은것으로 알고있습니다
하지만, 이풀이를 하는 학생과 모르는 학생은 큰 차이가 있습니다
어려운 문제에 봉착했을때, 이 풀이는 하는 학생은 이풀이로도 접근해볼테고
모르는 학생은 아예 손도 못댈것이기 때문입니다
즉, 유형을 많이 다뤄볼수록 그만큼 무기가 많이 생기는 셈이죠
제가 수기에도 썼듯이 재수초반에 수리가 올라서 그후로 떨어지지 않고 유지했다는 말을 한적이 있습니다
그리고 그원인이 화장실에서든, 통학할때든, 어디에서든 수학문제와 씨름했기 때문이라고 밝힌 적이 있습니다
문제와 씨름하는 도중에 저자신도 모르게
이개념C도 써보았다가 저개념D도 써보았다가, 이렇게 떠올린개념은 비록 이문제를 풀 수 없더라도
자기가 스스로! 생각했으니 자기 것이 되는 것입니다 결국 다른 문제풀때 도움이 되겠지요
즉, 한문제를 풀면서 여러문제풀수 있는 생각하는 힘!을 기르게 된것입니다
따라서, 처음에만 시간이 오래걸리지 점점 푸는 속도가 증가하게 됩니다
제가 위에서 수리는 '생각'이라고 말씀드렸죠?! 바로 이런 이유에서 입니다
그런데 많은 학생들이 '생각'하다말고 도중에 포기합니다
기숙학원친구 중 한명을 봐도 아니무슨 애가 그렇게 끈기가 없는지
저는 도리어 문제출제자에게 농락당하는 기분이 들어 끝까지 답지안보고 자존심 세워가면서 풀어냈습니다
이게 고집이기도 하지만, 이러면서 생각하는 힘이 길러지는 것이죠
많은 학생들이 이러한 힘든 과정을 지나려하지않고 안일하게 편하게 공부하려고 하니까 수리가 가장 힘든것입니다
제가 재수초기때 수리못할때는 공부하다가 막히는 문제가 있으면 그걸로 하루를 보냈습니다
정 안되겠다싶으면 뒤에 있는 문제 풀다가 다시 돌아와서 씨름하고....
이렇게 해서 문제를 풀어내란 뜻이 아니라 (풀어내면 더욱좋지만)
이렇게 해서 생각하는 힘을 길러내란 뜻입니다
이렇게 기출문제에 '이유'를 달아가며 '생각'하는 힘을 길러가며 접근하셨으면 합니다
'이문제에서 무엇을 물어보네. 주어진 것은 ~야. 더 필요한것은 ~이니까 이걸 찾으려고 하면되겠네(이유달기)
그럼 어떻게 주어진것에서, 또 어디에서 끌어낼수있을까(생각하기)
설명이 굉장히 추상적이라 이를 바탕으로 해설서를 하나 써볼까 생각중이었는데
내년에 개정이 되어가지고....하여간평가원은 나랑맞아먹질않아ㅠㅠ
개정되어도 크게 상관없다면 해설서를 써볼생각입니다(언제까지나 계획이지만ㅠㅠ)
저는 수리역시 기출로 해결했습니다
출판사까지 밝히겠습니다 다호라에서 나오는 94년도?부터 모든 문제가 수록된 기출문제집이 있습니다
올해 이책을 2번 보았지요
모든 문제에 '내가 과연 어려운 문제에서 막혔을때, 문제에 있는 조건과 내가 아는 개념만으로 문제를 돌파할수 있을까?'생각하며
풀었습니다
왜냐하면
실제 수능장에서도 어려운 문제는 만날 것이고, 이때 나는 어떻게든 기발하고 참신한 방법이 아닌
내가 아는 범위안에서, 내가 알고있는 풀이법으로 답을 내려고 할것이기때문에
수능장에서 문제를 보듯이 문제를 대했습니다
그래서 문제집해설에 '이건 도저히 학생이 수능장에서 생각해낼 수 있는 풀이가 아니야'라고 생각되는 해설이 있으면
그해설버리고 제가 수능장에 있다고 생각하고 '현실적인'풀이를 생각해내기위해 계속 생각했습니다
수리는 풀이하는데 여러가지방향이 있기 때문에 우리가 알던 방법으로 항상 풀리게 되어있습니다
예를들어볼까요
종로학원다닐때 였습니다
지금도 기억나는데 한쪽에 2문제가 배치되어있고, 공간도형위에 선을 그려놓고 최단길이 구하기/가 문제였습니다
1번이 약간 기본적인 문제라면, 2번은 응용된 문제였습니다
선생님께서 1번을 풀때, 누구나 아는 방법인 전개도로 풀어주시더군요, 하지만 2번도 같은 유형의 문제인데
듣도보도 못한 희안한 방법으로 20분넘게 풀어주시더라구요
(알고보니 뒤에 해설에 그렇게 나와있고 문제풀이가 생각이 안나자 선생님께서도 해설을 보셨다고 생각이됩니다)
저는 당장 '저건 아니야'라고 생각했습니다
희안한 방법은'현실적으로' 수능장에서 아무쓸모가 없기 때문입니다
따라서, 저는 생각했습니다 '만약 내가 수능장에서 이 최단길이 문제를 만났다면 전개도풀이부터 시작했겠지
, 그렇다면 2번역시 전개도로 풀어보자'
전개도로 3분만에 풀리더군요
이렇게 현실적으로 최적화된 풀이를 쫓다보면서 실력이 늘게 되는것입니다 실전력이라고도 하죠
실제로 재수할때, 화장실에서까지 수리 문제를 생각한 이유도 '수능장에서 이문제를 만났다고 생각하면
어떤방법으로든 답을 찾아내야하기'때문에 그렇게 필사적으로 답지를 보지않았던 것같습니다
기출뿐만아니라 당연히 EBS도 풀었지요 모든책 다풀었습니다
하지만 역시 언어처럼 마무리는 기출로 하고 틀을 다지고 수능장에 들어갔지요
그래서 평소때처럼 수능장에서도 자연스럽게 '이유달게'되고 기출분석의 연장선위에서 수리를 보았던것같네요
또한 수능막바지때에는 모의고사를 하루에 하나씩풀어서
수능장에서 마음가짐이 '아, 오늘도 모의고사하나풀겠네'가 되도록 하였습니다
전혀 수능상황이 낯설지 않게 말이지요
수리도 언어처럼 수리영역 전 쉬는 시간에 읽을 수있게끔 노트를 준비해갔습니
다문이과공통인 수1에서 몇가지 적어논것을 보여드리자면~
1. 행렬에서 '역행렬이 없는 행렬이 하나라도 곱해지면 그행렬은 역행렬이 없다'
2. 'A+kE꼴이 역행렬이 없을때 ~~한다' (이거기출풀면 많이 마주치게 될거에요 풀이방법은 본인스스로 알아내시길)
3. 지수와 로그에서는 '지수함수, 로그함수 역함수 관계를 이용한 문제가 많아. 이럴 땐 y=x와의 관계를 살펴보자!
(실제로 이걸 노트에 적고 기출풀때, 단단히 하였기 때문에 즉, 체화시켰기 때문에
올해 수리30번 보자마자 역함수떠올랐고 y=x를 떠올렸지요. 모두 기출문제에서 이미 나왔던겁니다)
4. 수열에서 제일 기본은 직접 해보면서 규칙성 추론하는거야!(이거 역시 주관식에서 답이23이었던 문제의 핵심이었지요
저는 직접 해가면서 풀어냈으니까요)
5. Sn대신 a1+a2+a3...구조나 시그마(k는 1부터 n까지)ak구조가 나오면 역으로 Sn임을 알아내고
Sn - S(n-1) = an 으로 풀어나가자
(이건 9월모평에서 또 다시 건드렸었지요)
이런식으로 기출을 보고 평가원이 내는 포인트를 정리하고
정리하는것에 그치는것이 아니라 단단하게 체화한다면 수능장에서, 그 긴장감도는 수능장에서도
본능적으로 생각나게 됩니다
아무쪼록 수리에서 많은 분들이 도움을 얻어가셨으면합니다!
+인강은 재수할때, 신승범의 수능적해석을 들었습니다
개인적으로 저랑 잘 맞고, 정석적풀이를 좋아하기때문에ㅋㅋㅋ
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잠못이루는밤입니다. 좋은글 감사합니다.
긴글읽어주셔서 감사해요~
안올라오셔서 자고일어나서 봤네요 ㅠㅠ
재수준비중에 제가 오르비를 들락날락거리는건
바로 ARENA님 같은분이 있어서가아닐까요..
저도 저나름 기적을세우면서 고삼을지내왔고
(6)436->(9)112->(11)522 그리고 저도 다음년도때 성적을 끌어올려서
ARENA님같이 후배한테 도움이 될수있는 선배가 될수있으면
좋겠습니다 감사합니다
음...6월에서 9평때까지의 성적을 보니
뭔가 큰일을 내실것같아요ㅋㅋ
언어는 9평이 너무 쉬웠기 때문에 냉정하게 자기 실력을 보셔야할것 같구요~
하지만 수리에서 1등급을 한번이라도 맞아보았다는 것은 그만큼 가능성이 있다는 뜻이지요
1등급받아본사람이 어떻게 받는지를 아니까요~
충분히 가능성이 있을거같아요!
혹시 수리 과학논술은 준비안하셨나요?정시올인이셨어요?
하다가 그렇게 특별한 재능도 보이지 않고ㅋㅋㅋ
또 제가 원하는 과가 의예과라서 여기에 지원하는 학생들 중
어릴때부터 탄탄하게 준비해온 아이들을 이길수없다는 생각에
준비안하고 정시만 했어요
물론 수시원서는 냈지요. 그냥 한번 시도해본다는 의미에서
손대기도 손놓기도 애매해서요ㅋ
정시비중은 왜이리 점점 주는지ㅠ
저는 이도저도아닌걸 싫어해서요ㅋㅋ
그래서 학고반수를 하게 된거고
논술준비하는시간에 차라리 탄탄한 수능점수를 만들고싶어서 논술을 안했습니다
개념은 그럼 인강으로 쌓으신건가요?
정석같은 개념서 안쓰시고요?
정석 많이 본다고 해서 정석을 보기는 했지만
정석은 10가나만 했어요
개념은 인강으로 했어요. 인강에 학원수업으로 다졌지요
+대성에서 열렸던 특강이 있는데 중학교 도형 다 모아놓은 특강 들었어요
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기출을 수능때까지 끌고 나가셨으면 좋겠어요
저도 수능 마지막에 실전모의고사풀었습니다
포카칩, 이해원, 한석원, 일살필격?
+학원에서 학기초부터 선생님께서 매주2,3개씩 종로, 중앙사설을 주셔서
일년동안 모의고사만 100개 좀안되게 푼거같은데
ebs파이널도 있고...
하지만 3회독까지 할필요있나싶습니다
이문제가 수능에 나온것도 아니고, 엄연히 기출보다 질이 낮은데
실전처럼 한회풀고 '내가 어느것에서 모자라서 100점을 못맞았지?'
하면서 반성하는 작업만 하면 될거같아요
-
기출을 섣풀지 않으면 가능하지요
그냥 기출풀었다/는 것에만 그치면 아무도움안되요~
제가 윗글에서 설명드린 것처럼
문제하나하나마다(특히 어려운문제요~) 내가 시험장에 가서 이문제를 만났을때,
어떻게 답을 끌어낼까? 이 이유를 달다보면
기출문제가 비슷한 개념을 가지고 문제를 만들었다는 것을 찾아낼수잇지요
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수비? 수비가뭐죠?ㅋㅋㅋ
수능적비....비...
ㅋㅋㅋㅋ일격필살
궁금한거 있는데요 !
공부 시작하는 단계에서 기본서로 개념 다시 익히면서 기본문제 한번씩 풀어주고
유형을 정복하기 위해 사설문제집(수능다큐나 n제 같은 유형문제집) 네권 푼 다음에 기출로 넘어가는게 좋을까요, 아님 사설문제집 풀 시간에 바로 기출로 들어가는게 좋을까요?
글은 정말 잘읽었습니다 ㅠㅠ
제가 아레나님은 아니지만 저 주제에 충고나 하자면 개념 어느정도 되시면 기출은 항상 보시는게 좋을거같고 사설이나 ebs도 꾸준히 푸세요.....수능전에 문제 질 따지는 사람 굉장히 많았고 저도 그런사람중 하나여서 사설문제 별로 안풀었는데 기본적인 계산실수를 안하기 위해서라도 사설은 푸시는게 좋겠네요....결론은 기본서 끝나면 기출이랑 사설(또는 ebs) 같이 보시는게 좋을거 같아요
맞아요!ㅋㅋㅋ
기출은 항상보시는거에요~ 전수능전날까지 보고갔어요
롤켁님, 제가 수능올백예정님에게 단 댓글참고바래요
신승범쌤 추천이죠... 저도 고1때 수리모의고사 68점찍고 겨울방학때부터 승범신 들은결과 수능 100점... 정도가 가장 빠른 길이죠... /////저는기출전체는 2번만돌리고 승범쌤 교재에있는 기출문제 위주로 수없이 돌렸음
정말 유용한 수리정보! 진심으로 감사합니다~^^
늦었지만 수능 대박나신것도 축하드립니당~^^
개념 정리하고 바로 기출푸나요 ?
아니면 쎈이나 알피엠같은 유형문제 한번풀고 푸나요 ?
저는 고3때 쎈을 풀었습니다
원래 주변에 물어보면 고1,2때 다풀더라구요
쎈이 문제수가 많아서 어떻게 조언을 해드려야할지 모르겠는데음...
해도 될거같다고 조심스럽게 권해봅니다
아무래도 개념과 수능문제를 잇는 그 중간단계의 문제가 있는게 좋을거 같아서권해요
적당히 본인스케쥴에 융통성있게 계획세우시길 바래요~
그리고 하나만더 물어보고 싶은게,
쎈 위에 유형푸는법이 나와있잖아요..
그걸보고 푸는게 맞는건가요,자기가 배운 개념을 바탕으로
푸는방법을 추론하는게 맞는건가요 ?
또 c단계도 풀어야하나요 ?
제가 할때는 a를 건너뛰고 b,c단계를 풀었던것같네요
c단계가 가장 어려운 단계아닌가요?
쎈위에 유형푸는 법이 나와있는지는 너무한참오래전에 풀어서 기억이 나지않고ㅠㅠ
만약 두가지 방법이 다르다면 두가지 모두 해보세요
풀이방법은 가능한 많이 알아두는게 좋으니깐요~
c가 가장어려운거 맞구요.
답변감사해여
내년이면 수능을 치르게 될 예비고3이에요^^
올 겨울방학에 정석으로(4권) 기본문제,유제만 제대로 풀면서(이때 한석원 개념인강도 참고) 개념을 이해한후에 자이스토리로 2번정도 회독하면서 문제를 풀려고 하는데 괜찮을까요? 그리고 난뒤 회차별 기출문제집으로 계속 풀면서 사설모의고사나 넘기는 실전모의고사로 공부할려고 계획중인데 아레나님 보시기엔 어떤가요?
아니면 아예 처음부터 정석으로 개념공부하고 회차별로 바로 들어갈까요?
회차별전에 단원별로 먼저 하시는게 좋을거같아요!ㅋㅋ
이렇게 공부하면 그 단원에 대한 깊은 이해가 가능하게 되니까요~
기본서를 교과서로 쓰는것에 대해서는 어떻게 생각하시나요??
제가 교과서를 써보지않아서 잘모르겟지만ㅠㅠ 많이들 좋다고 하던데요
수학에 대해 잘아는 사람일수록 교과서에서 많은걸 느낀다고 해요ㅋㅋㅋ