수리 굇수님들 헬프ㅠ

게시글 주소: https://mclass.orbi.kr/0003117758

아 독재라서 질문받아줄 사람이 없네요 ㅠ ㅜ
바로 질문할게요
미분문제에서 미분가능성 따질때요.
도함수로 원함수예측하잖아요?? 근데 원함수의 x=a에서 미분가능성은 도함수 x=a에서 좌우극한을 따지는데요
문제는 옛날에? 신승범쌤이 수업할때 가르쳐준것중 이해가 안가는게 잇엇는데 오늘자이기출풀다가ㄴ나와서요

도함수의 x=a에서도함수의 함수값이 없을때 왜 원함수 x는 a에서 미분불가능 인가요?? 미분불가능은 좌우 극한으로만 알수잇지 않나요?? 자세히 설명좀요ㅠㅜ

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고잠쟁취 [367228]

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zzxxaazz · 413690 · 12/10/12 11:22

미분의전제가연속이라그런건가..

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고잠쟁취 · 367228 · 12/10/12 11:43 · MS 2011

아 그런것도 같아요 .근데 문제는 x=a를 기점으로 서로 다른 함수가 주어지면 어떵게 되는지 잘 모르겟네요

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루라룰 · 364154 · 12/10/12 11:22 · MS 2011

x=a에서 미분가능하려면 도함수가 a에서 연속해야되는데 거기에서 함숫값이 없으면 연속이 안되니까 미분불가능한거죠

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고잠쟁취 · 367228 · 12/10/12 11:42 · MS 2011

근데 미분가능의 조건이 도함수의 연속성 즉 좌 우 극한값이 모두다 같다는것인가요?? 저는 좌우 까지만 같아도 된다고 배워서요ㅠ 아 개념이 헤깔리네요ㅠ

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까망이님 · 364128 · 12/10/12 11:54 · MS 2011

미분이 가능하려면 연속해야 하는데, 연속하려면 좌우 극한과 극한값 3개 모두가 같아야 되죠.
그니까 결국은 미분이 가능할면 좌극한,우극한,극한값 3개가 모두 같아야 가능하다는거죠

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멋진공돌이 · 341856 · 12/10/12 12:27 · MS 2010

미분의 정의자체가 연속이라는 개념을 바탕으로 하고 있어서 그렇습니다. 연속이라고해서 무조건 미분가능은 아니지만 미분이가능하면 연속이어야해요.
미분이 수식으로
lim h->0 일때 f(x+h)-f(x)/h 인데 극한값이 존재하더라도 함수값 f(x)가 존재하지 않으면 식에서 값을 구할수가 없게됩니다.

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해원(난만한) · 347173 · 12/10/12 12:47 · MS 2010

"lim h->0 일때 f(a+h)-f(a)/h 이 존재할 때"

=

"lim h->+0 일때 f(a+h)-f(a)/h 과 lim h->-0 일때 f(a+h)-f(a)/h이 같을 때"

=

"즉 평균변화유링 극한값이 존재할 때"

그 값을 f'(a)라고 약속하느 ㄴ겁니다/.

따라서 f'(a)가 없으면 미분불가능한거죠.

참고로 도함수의 연속성과 미분가능성을 연계짓고계시는데 둘은 별 상관없습니다.

"도함수의 함숫값"만이 상관있죠

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도전인 · 375959 · 12/10/12 19:54

그렇다면 도함수가 x=a에서의 극한값이 존재하지만 이와 함숫값 f ' (a)가 달라 불연속인 경우에도 원함수는 x=a에서 미분가능하다는 말씀이신가요?

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syzy · 418714 · 12/10/13 01:34 · MS 2012

그런 경우가 있다면 x=a에서 미분가능하다고 봐야겠지만 그런 경우는 없습니다. 즉, 도함수f ' (a)가 존재하고, f ' (x)의 극한값(x->a일때)이 존재하면, 그 두 값은 반드시 같아야 합니다. 이런 의미에서, 해원님이 도함수의 연속성과 미분가능성이 별 상관이 없다고 하였지만, 또 상당히 관련이 있기도 합니다. 어쨋거나 일반적으로 미분가능하다 해서 도함수가 연속은 아니고, 질문자님의 질문에서처럼 아예 f ' (a)가 존재하지 않는다면 그냥 그 자체로 미분불가능하다는 뜻이고, x->a일때 f ' (x)의 극한값과도 물론 아무 상관 없습니다. (아예 존재하지 않으므로)

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CrossOver · 13256 · 12/10/13 17:01 · MS 2017

"그런 경우가 있다면 x=a에서 미분가능하다고 봐야겠지만 그런 경우는 없습니다."
이부분은 정정이 필요할듯 합니다.
함수
f(x)=
x^2 sin(1/x^2 ) (x=0 이 아닐때) ,
0 (x=0 일때 )

이렇게 두조건 으로 정의된 함수는 x=0 에서 연속입니다. x=0 에서 미분도 가능하구요 하지만 도함수가 x=0 에서 연속은 아닙니다.
x=0 근처에서 미췬듯이 진동해나가는 그런 함수이죠.

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CrossOver · 13256 · 12/10/13 17:04 · MS 2017

그래서 사실 함수의 미분가능 문제를 100% 정석으로 풀려면
미분계수의정의를 이용하여 미분계수값(미분계수의 좌극한과 우극한이 같다)
로 푸는 것이 정석입니다. 그런데
대부분의 출제되는 문제들의 함수들이 도함수가 연속인 함수들이 출제가 되기 때문에
미분먼저하고 연속이다 로 푸는데 ㅅ실 그풀이는
엄밀히 말해서 제대로된 풀이는 아닙니다.

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syzy · 418714 · 12/10/14 02:53 · MS 2012

그게 아니죠.. 말씀하신 예는 유명한 것인데요, 그 경우 도함수f ' 이 x=0에서 극한값 존재하나요? 제가 말씀드린 것은, 도함수 f ' (a)가 존재할 뿐 아니라, x->a일때 f ' (x)의 극한값도 '존재'한다면 lim_{x->a} f ' (x) = f ' (a) 여야 한다는 것입니다. '도전인'님 질문을 정확히 읽어보세요. 제가 말씀 드린 것은 정리로 알려진 것이고 증명은 생각보다 쉽지 않습니다.

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고잠쟁취 · 367228 · 12/10/13 00:31 · MS 2011

감사해요 ㅎㅎ 고3때도 이해가 안갓는데 개념책피고 생각해보니깐 알겟네요 ㅠㅠ제가 평균변화율을 자꾸 도함수의 기울기랑 연관지엇네요 암기교육의폐혠가?? ㅋㅋ암튼 감사해욥 수리 굇수님ㅋㅋㅋ

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ithilien · 404157 · 12/10/12 12:51 · MS 2012

직관적으로 생각해보면 도함수의 함수값은 그 점 에서의 원함수의 평균변화율의 극한값인 겁니다. 그 점에서 도함수가 함수값을 가진다면 그점에서 원함수의 평균변화율의 극한값이 존재한다는 말이므로 당연히 미분가능하게 되는거죠.

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공부짱~~~ · 391750 · 12/10/13 01:25 · MS 2011

x=a에서 도함수의 함숫값이 없다는게
x=a에서 원함수가 미분계수가 없다는 뜻이죠
그러니까 미분불가능한거임
너무 어렵게 생각하시는 듯
그러니까 x=a에서의 도함수의 함숫값은 그냥 원함수의 x=a에서의 미분계수를 나타낼 뿐입니다
당연히 도함수의 함숫값이 없으면 미분계수자체가 없다는소리니까 미분이 불가능하죠

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