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재서기❄ [818894] · MS 2018 · 쪽지

2019-05-19 23:41:51
조회수 8,228

[기벡 / 이차곡선] 타원, 쌍곡선에 대한 수식적(?) 고찰

게시글 주소: https://mclass.orbi.kr/00022833384

안녕하세요. 재서기❄  입니다.


오늘은 문제 말고


알고 있어도 수능 땐


"1도 쓸데없는" 토막 글 하나 가져왔습니다!



(그래도 1 정도는 쓸모 있지 않을까...)


보시면 신기할 수도 있으니 읽어보아요.






그럼 바로 본론으로 들어가보겠습니다.




일단, 타원과 쌍곡선을 관찰하기 전에

원부터 보도록 하겠습니다.

일반적으로, 좌표평면에서

중심이 원점이고


반지름의 길이가 r인 원의 방정식은




로 표현합니다.





인 것을 생각하면,





로 표현할 수 있습니다.





이를 '타원'과 '쌍곡선'에도 적용해보자는게

이번 칼럼의 주제입니다.



일반적으로, 좌표평면에서

중심이 원점인 타원의 방정식은





꼴로 표현합니다.







를 똑같이 반영한다면





로 표현할 수 있습니다.







일반적으로, 좌표평면에서

중심이 원점인 쌍곡선의 방정식은





or 




꼴로 표현합니다.







임을 생각하면




 


일 때는









일 때는




로 표현할 수 있습니다.





그렇다면 이를 가지고

접선의 기울기를 구할 수 있지 않을까!

라는 생각을 해봤습니다.





각각의 



를 한 번 구해보도록 하겠습니다.




를 이용합시다!





원의 중심이 원점인 원에 대해서




이므로, 원에서의 접선의 기울기는

접점만 알고 있다면 바로 구해낼 수 있습니다.


(사실, 법선의 기울기의 역수의 -1 배를 해도 구해낼 수 있지만,

타원과 쌍곡선의 경우에도 적용해보고자 이 방식을 써봤습니다.)





타원의 중심이 원점인 타원에 대해서

타원의 접선의 기울기는

입니다.




쌍곡선의 중심이 원점인 쌍곡선에 대해서


쌍곡선의 접선의 기울기는





or





로 동일합니다.










사실,



에서


A=B>0이면 원


A≠B, A>0, B>0이면 타원


AB<0 이면 쌍곡선 인데


이 이차곡선의 접선의 방정식은





이므로,


여기서 접선의 기울기를 구하면






임을 쉽게 알 수 있다는 것이죠.







그냥 요런 식으로도 볼 수 있구나 정도로만


훑고 지나가시면 될 것 같습니다.




긴 글 읽어주셔서 감사합니다.






질문: 이런 걸 알면 어디에 적용할 수 있나요?


답변: 첫 단락에 1도 쓸데없다고 명시했어요.



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재서기❄ [818894]

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