$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20S%20&=%201%20-%20\frac{1}{2}%20+%20\frac{1}{3}%20-%20\frac{1}{4}%20+%20\cdots%20\\%20T%20&=%201%20-%20\frac{1}{3}%20+%20\frac{1}{5}%20-%20\frac{1}{7}%20+%20\cdots%20\end{align*}$

의 값을 구하는 과정에 대한 간략한 설명이다.

수열 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_n$ 을 다음과 같이 정의하자:

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_n%20=%20\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}%20\tan^{n}%20x%20\;%20dx%20\quad%20(n%20=%200,%201,%202,%20\cdots)$

이 수열의 첫 두 항은 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_0%20=%20\frac{\pi}{4},%20\%20I_1%20=%20\frac{1}{2}%20\ln%202$ 으로 주어진다. 또한 이 수열은 다음 점화식을 만족한다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_{n+2}%20=%20\frac{1}{n+1}%20-%20I_{n}$

그러므로 위 식을 반복하면, 임의의 m = 0, 1, 2, … 와 n = 1, 2, 3, … 에 대하여

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20I_{m}%20&=%20\frac{1}{m+1}%20-%20I_{m+2}%20\\%20&=%20\frac{1}{m+1}%20-%20\frac{1}{m+3}%20+%20I_{m+4}%20\\%20&=%20\frac{1}{m+1}%20-%20\frac{1}{m+3}%20+%20\frac{1}{m+5}%20-%20I_{m+6}%20\\%20&%20\%20\%20\vdots%20\\%20&=%20\sum_{k=0}^{n-1}%20\frac{(-1)^{k}}{m+2k+1}%20+%20(-1)^{n}I_{m+2n}%20\end{align*}$

가 성립함을 알 수 있다.

한편, 0 ≤ x < π/4 일 때 |tan x| < 1 이므로, 동일한 x에 대하여 tanⁿ x 는 n→∞ 일 때 0으로 수렴한다. 따라서 이로부터 수열 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_n$ 역시 n→∞ 일 때 0으로 수렴함을 알 수 있다. 그러므로 위 식에서 n→∞ 의 극한을 취하면

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_{m}%20=%20\frac{1}{m+1}%20-%20\frac{1}{m+3}%20+%20\frac{1}{m+5}%20-%20\frac{1}{m+7}%20+%20\cdots$

임을 알 수 있고, m = 0 과 1 을 각각 대입하여 정리하면

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?S%20=%202I_{1}%20=%20\ln%202,%20\quad%20T%20=%20I_{0}%20=%20\frac{\pi}{4}$

이다.

이때 다음 물음에 답하여라.

(1) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_n$ 의 값이 (ln 2)/2 임을 실제로 보여라.

(2) 본문에 제시된, $http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_n$ 이 만족하는 점화식 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_{n+2}%20=%20\frac{1}{n+1}%20-%20I_{n}$ 이 성립함을 실제로 증명하여라. (힌트: 1 + tan² x = sec² x)

(3) 다음은 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_n$ 이 0으로 수렴함을 엄밀히 보이기 위한 단계이다. 각각의 물음에 답하여라.

(3-1) ε 가 0과 π/2 사이의 실수라고 하자. 그리고

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha%20=%20\frac{\pi}{4}%20-%20\frac{\epsilon}{2},%20\quad%20r%20=%20\tan%20\alpha$

으로 두자. 그러면 0 ≤ x ≤ α 이고 자연수 n이 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?n%20%3E%20\log_{r}%20\left(%20\frac{2%20\epsilon}{\pi}%20\right%20)$ 를 만족할 때 항상 다음 부등식

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?0%20\leq%20\tan^n%20x%20%3C%20\frac{2%20\epsilon}{\pi}$

이 성립함을 보여라. 또, n이 앞서의 조건을 만족하면 다음 부등식이 성립함을 보여라.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?0%20\leq%20I_n%20\leq%20\epsilon$

(힌트: 적분구간을 [0, α] 와 [α, π/4] 로 쪼개보라.)

이로부터, 각각의 실수 ε > 0 마다 어떤 자연수 N(ε)이 존재하여, n ≥ N(ε) 이 성립하면 위 부등식이 성립함을 알 수 있다.

(3-2) 수열 a(n)이 실수 α로 수렴한다는 것은, 수학적으로 엄밀하게 다음과 같이 정의된다:

각각의 양수 ε > 0 마다 어떤 자연수 N(ε)가 존재하여, n ≥ N(ε) 이면 항상 |a(n) - α| < ε 이다.

이 정의를 이용하여 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_n$ 이 0으로 수렴함을 보여라.

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Srisant · 334112 · 11/09/21 22:25 · MS 2010

아 여기가 더 흥하겠다 ㅋㅋㅋㅋㅋ 내공에 차이가 느껴지네요 ㅜㅜㅠ

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Yoonaul · 362874 · 11/09/22 21:42 · MS 2010

오, 소스님의 투척이라니.. 도전해보겠습니다! (꽤 간만에 보이시는것같네요..)

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도깨비안경 · 404577 · 12/09/16 15:04 · MS 2012

이거 퍼가도 대나요?

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